Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15062 / 7665
↖ ↑ ↗
← N 68.716453°
W 14.523926°		 ← 443.44 m → N 68.716453°
W 14.512940°		 →
↑
443.49 m
↓
↑
443.49 m
↓
N 68.712465°
W 14.523926°		 ← 443.51 m →
196 675 m²		 N 68.712465°
W 14.512940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459671020507812 y=0.233932495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459671020507812 × 215)
    floor (0.459671020507812 × 32768)
    floor (15062.5)     		tx = 15062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233932495117188 × 215)
    floor (0.233932495117188 × 32768)
    floor (7665.5)     		ty = 7665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15062 / 7665 ti = "15/15062/7665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15062/7665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15062 ÷ 215
    15062 ÷ 32768     		x = 0.45965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7665 ÷ 215
    7665 ÷ 32768     		y = 0.233917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25349033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233917236328125 × 2 - 1) × π
    0.53216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67184731114908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25349033} λ = -0.25349033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67184731114908))-π/2
    2×atan(5.32199009360426)-π/2
    2×1.38506234155684-π/2
    2.77012468311369-1.57079632675     		φ = 1.19932836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25349033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19932836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.716453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15062 KachelY 7665 -0.25349033 1.19932836 -14.523926 68.716453
    Oben rechts KachelX + 1 15063 KachelY 7665 -0.25329858 1.19932836 -14.512940 68.716453
    Unten links KachelX 15062 KachelY + 1 7666 -0.25349033 1.19925875 -14.523926 68.712465
    Unten rechts KachelX + 1 15063 KachelY + 1 7666 -0.25329858 1.19925875 -14.512940 68.712465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19932836-1.19925875) × R
    6.96099999999422e-05 × 6371000     		dl = 443.485309999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19932836-1.19925875) × R
    6.96099999999422e-05 × 6371000     		dr = 443.485309999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25349033--0.25329858) × cos(1.19932836) × R
    0.000191749999999991 × 0.362983667431467 × 6371000     		do = 443.435095243205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25349033--0.25329858) × cos(1.19925875) × R
    0.000191749999999991 × 0.363048528836867 × 6371000     		du = 443.514332481852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19932836)-sin(1.19925875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362983667431467-0.363048528836867)×R²
    abs(-0.25329858--0.25349033)×6.4861405399852e-05×R²
    0.000191749999999991×6.4861405399852e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.4861405399852e-05×40589641000000     		ar = 196674.521034007m²