Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15062 / 10190
↖ ↑ ↗
← N 56.084297°
W 14.523926°		 ← 681.64 m → N 56.084297°
W 14.512940°		 →
↑
681.70 m
↓
↑
681.70 m
↓
N 56.078167°
W 14.523926°		 ← 681.75 m →
464 710 m²		 N 56.078167°
W 14.512940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459671020507812 y=0.310989379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459671020507812 × 215)
    floor (0.459671020507812 × 32768)
    floor (15062.5)     		tx = 15062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310989379882812 × 215)
    floor (0.310989379882812 × 32768)
    floor (10190.5)     		ty = 10190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15062 / 10190 ti = "15/15062/10190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15062/10190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15062 ÷ 215
    15062 ÷ 32768     		x = 0.45965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10190 ÷ 215
    10190 ÷ 32768     		y = 0.31097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25349033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31097412109375 × 2 - 1) × π
    0.3780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18768462498651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25349033} λ = -0.25349033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18768462498651))-π/2
    2×atan(3.27947918584977)-π/2
    2×1.27482598895108-π/2
    2.54965197790216-1.57079632675     		φ = 0.97885565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25349033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97885565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.084297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15062 KachelY 10190 -0.25349033 0.97885565 -14.523926 56.084297
    Oben rechts KachelX + 1 15063 KachelY 10190 -0.25329858 0.97885565 -14.512940 56.084297
    Unten links KachelX 15062 KachelY + 1 10191 -0.25349033 0.97874865 -14.523926 56.078167
    Unten rechts KachelX + 1 15063 KachelY + 1 10191 -0.25329858 0.97874865 -14.512940 56.078167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97885565-0.97874865) × R
    0.000106999999999968 × 6371000     		dl = 681.696999999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97885565-0.97874865) × R
    0.000106999999999968 × 6371000     		dr = 681.696999999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25349033--0.25329858) × cos(0.97885565) × R
    0.000191749999999991 × 0.557972561503958 × 6371000     		do = 681.64118155624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25349033--0.25329858) × cos(0.97874865) × R
    0.000191749999999991 × 0.558061353265271 × 6371000     		du = 681.749653056936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97885565)-sin(0.97874865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557972561503958-0.558061353265271)×R²
    abs(-0.25329858--0.25349033)×8.87917613129341e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87917613129341e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87917613129341e-05×40589641000000     		ar = 464709.721335304m²