Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15062 / 10013
↖ ↑ ↗
← N 57.154120°
W 14.523926°		 ← 662.59 m → N 57.154120°
W 14.512940°		 →
↑
662.58 m
↓
↑
662.58 m
↓
N 57.148161°
W 14.523926°		 ← 662.70 m →
439 060 m²		 N 57.148161°
W 14.512940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459671020507812 y=0.305587768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459671020507812 × 215)
    floor (0.459671020507812 × 32768)
    floor (15062.5)     		tx = 15062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305587768554688 × 215)
    floor (0.305587768554688 × 32768)
    floor (10013.5)     		ty = 10013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15062 / 10013 ti = "15/15062/10013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15062/10013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15062 ÷ 215
    15062 ÷ 32768     		x = 0.45965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10013 ÷ 215
    10013 ÷ 32768     		y = 0.305572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25349033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305572509765625 × 2 - 1) × π
    0.38885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22162394991751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25349033} λ = -0.25349033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22162394991751))-π/2
    2×atan(3.39269282564897)-π/2
    2×1.28416195066876-π/2
    2.56832390133752-1.57079632675     		φ = 0.99752757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25349033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99752757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.154120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15062 KachelY 10013 -0.25349033 0.99752757 -14.523926 57.154120
    Oben rechts KachelX + 1 15063 KachelY 10013 -0.25329858 0.99752757 -14.512940 57.154120
    Unten links KachelX 15062 KachelY + 1 10014 -0.25349033 0.99742357 -14.523926 57.148161
    Unten rechts KachelX + 1 15063 KachelY + 1 10014 -0.25329858 0.99742357 -14.512940 57.148161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99752757-0.99742357) × R
    0.000103999999999993 × 6371000     		dl = 662.583999999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99752757-0.99742357) × R
    0.000103999999999993 × 6371000     		dr = 662.583999999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25349033--0.25329858) × cos(0.99752757) × R
    0.000191749999999991 × 0.542381130446608 × 6371000     		do = 662.594077412914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25349033--0.25329858) × cos(0.99742357) × R
    0.000191749999999991 × 0.542468501298934 × 6371000     		du = 662.700813075421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99752757)-sin(0.99742357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542381130446608-0.542468501298934)×R²
    abs(-0.25329858--0.25349033)×8.73708523260186e-05×R²
    0.000191749999999991×8.73708523260186e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.73708523260186e-05×40589641000000     		ar = 439059.595255111m²