Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15061 / 20474
↖ ↑ ↗
← S 40.930115°
W 14.534912°		 ← 922.91 m → S 40.930115°
W 14.523926°		 →
↑
922.90 m
↓
↑
922.90 m
↓
S 40.938415°
W 14.534912°		 ← 922.80 m →
851 704 m²		 S 40.938415°
W 14.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459640502929688 y=0.624832153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459640502929688 × 215)
    floor (0.459640502929688 × 32768)
    floor (15061.5)     		tx = 15061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624832153320312 × 215)
    floor (0.624832153320312 × 32768)
    floor (20474.5)     		ty = 20474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15061 / 20474 ti = "15/15061/20474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15061/20474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15061 ÷ 215
    15061 ÷ 32768     		x = 0.459625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20474 ÷ 215
    20474 ÷ 32768     		y = 0.62481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.08074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25368207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.2496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.784247677784119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25368207} λ = -0.25368207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784247677784119))-π/2
    2×atan(0.456462979882072)-π/2
    2×0.428215526623415-π/2
    0.85643105324683-1.57079632675     		φ = -0.71436527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25368207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.534912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71436527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.930115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15061 KachelY 20474 -0.25368207 -0.71436527 -14.534912 -40.930115
    Oben rechts KachelX + 1 15062 KachelY 20474 -0.25349033 -0.71436527 -14.523926 -40.930115
    Unten links KachelX 15061 KachelY + 1 20475 -0.25368207 -0.71451013 -14.534912 -40.938415
    Unten rechts KachelX + 1 15062 KachelY + 1 20475 -0.25349033 -0.71451013 -14.523926 -40.938415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71436527--0.71451013) × R
    0.000144859999999913 × 6371000     		dl = 922.903059999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71436527--0.71451013) × R
    0.000144859999999913 × 6371000     		dr = 922.903059999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25368207--0.25349033) × cos(-0.71436527) × R
    0.000191739999999996 × 0.755509229119713 × 6371000     		do = 922.911594536876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25368207--0.25349033) × cos(-0.71451013) × R
    0.000191739999999996 × 0.755414317901776 × 6371000     		du = 922.795653314574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71436527)-sin(-0.71451013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755509229119713-0.755414317901776)×R²
    abs(-0.25349033--0.25368207)×9.49112179362555e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49112179362555e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49112179362555e-05×40589641000000     		ar = 851704.434942184m²