Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15061 / 20455
↖ ↑ ↗
← S 40.772222°
W 14.534912°		 ← 925.11 m → S 40.772222°
W 14.523926°		 →
↑
925.07 m
↓
↑
925.07 m
↓
S 40.780542°
W 14.534912°		 ← 925 m →
855 740 m²		 S 40.780542°
W 14.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459640502929688 y=0.624252319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459640502929688 × 215)
    floor (0.459640502929688 × 32768)
    floor (15061.5)     		tx = 15061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624252319335938 × 215)
    floor (0.624252319335938 × 32768)
    floor (20455.5)     		ty = 20455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15061 / 20455 ti = "15/15061/20455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15061/20455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15061 ÷ 215
    15061 ÷ 32768     		x = 0.459625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20455 ÷ 215
    20455 ÷ 32768     		y = 0.624237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.08074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25368207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.24847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.780604473412994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25368207} λ = -0.25368207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780604473412994))-π/2
    2×atan(0.458129000790213)-π/2
    2×0.429593405849369-π/2
    0.859186811698738-1.57079632675     		φ = -0.71160952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25368207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.534912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71160952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.772222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15061 KachelY 20455 -0.25368207 -0.71160952 -14.534912 -40.772222
    Oben rechts KachelX + 1 15062 KachelY 20455 -0.25349033 -0.71160952 -14.523926 -40.772222
    Unten links KachelX 15061 KachelY + 1 20456 -0.25368207 -0.71175472 -14.534912 -40.780542
    Unten rechts KachelX + 1 15062 KachelY + 1 20456 -0.25349033 -0.71175472 -14.523926 -40.780542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71160952--0.71175472) × R
    0.000145199999999956 × 6371000     		dl = 925.069199999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71160952--0.71175472) × R
    0.000145199999999956 × 6371000     		dr = 925.069199999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25368207--0.25349033) × cos(-0.71160952) × R
    0.000191739999999996 × 0.757311754663626 × 6371000     		do = 925.113515651547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25368207--0.25349033) × cos(-0.71175472) × R
    0.000191739999999996 × 0.757216923308942 × 6371000     		du = 924.99767198824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71160952)-sin(-0.71175472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757311754663626-0.757216923308942)×R²
    abs(-0.25349033--0.25368207)×9.48313546841328e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48313546841328e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48313546841328e-05×40589641000000     		ar = 855740.439633908m²