Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15061 / 15030
↖ ↑ ↗
← S 81.691497°
E150.930176°		 ← 353.05 m → S 81.691497°
E150.952148°		 →
↑
352.95 m
↓
↑
352.95 m
↓
S 81.694671°
E150.930176°		 ← 352.92 m →
124 587 m²		 S 81.694671°
E150.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919281005859375 y=0.917388916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919281005859375 × 214)
    floor (0.919281005859375 × 16384)
    floor (15061.5)     		tx = 15061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917388916015625 × 214)
    floor (0.917388916015625 × 16384)
    floor (15030.5)     		ty = 15030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15061 / 15030 ti = "14/15061/15030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15061/15030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15061 ÷ 214
    15061 ÷ 16384     		x = 0.91925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15030 ÷ 214
    15030 ÷ 16384     		y = 0.9173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91925048828125 × 2 - 1) × π
    0.8385009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63422851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9173583984375 × 2 - 1) × π
    -0.834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62234015681555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63422851} λ = 2.63422851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62234015681555))-π/2
    2×atan(0.0726326919027822)-π/2
    2×0.0725053698926401-π/2
    0.14501073978528-1.57079632675     		φ = -1.42578559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63422851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.930176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42578559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.691497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15061 KachelY 15030 2.63422851 -1.42578559 150.930176 -81.691497
    Oben rechts KachelX + 1 15062 KachelY 15030 2.63461200 -1.42578559 150.952148 -81.691497
    Unten links KachelX 15061 KachelY + 1 15031 2.63422851 -1.42584099 150.930176 -81.694671
    Unten rechts KachelX + 1 15062 KachelY + 1 15031 2.63461200 -1.42584099 150.952148 -81.694671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42578559--1.42584099) × R
    5.53999999999277e-05 × 6371000     		dl = 352.95339999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42578559--1.42584099) × R
    5.53999999999277e-05 × 6371000     		dr = 352.95339999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63422851-2.63461200) × cos(-1.42578559) × R
    0.000383490000000375 × 0.144503053824158 × 6371000     		do = 353.051998303694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63422851-2.63461200) × cos(-1.42584099) × R
    0.000383490000000375 × 0.144448235061199 × 6371000     		du = 352.918064291264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42578559)-sin(-1.42584099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144503053824158-0.144448235061199)×R²
    abs(2.63461200-2.63422851)×5.48187629587915e-05×R²
    0.000383490000000375×5.48187629587915e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.48187629587915e-05×40589641000000     		ar = 124587.266978112m²