Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15061 / 10114
↖ ↑ ↗
← N 56.547372°
W 14.534912°		 ← 673.39 m → N 56.547372°
W 14.523926°		 →
↑
673.48 m
↓
↑
673.48 m
↓
N 56.541316°
W 14.534912°		 ← 673.50 m →
453 550 m²		 N 56.541316°
W 14.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459640502929688 y=0.308670043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459640502929688 × 215)
    floor (0.459640502929688 × 32768)
    floor (15061.5)     		tx = 15061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308670043945312 × 215)
    floor (0.308670043945312 × 32768)
    floor (10114.5)     		ty = 10114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15061 / 10114 ti = "15/15061/10114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15061/10114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15061 ÷ 215
    15061 ÷ 32768     		x = 0.459625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10114 ÷ 215
    10114 ÷ 32768     		y = 0.30865478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.08074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25368207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30865478515625 × 2 - 1) × π
    0.3826904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20225744247101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25368207} λ = -0.25368207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20225744247101))-π/2
    2×atan(3.32762036179116)-π/2
    2×1.2788670762262-π/2
    2.55773415245241-1.57079632675     		φ = 0.98693783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25368207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.534912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98693783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.547372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15061 KachelY 10114 -0.25368207 0.98693783 -14.534912 56.547372
    Oben rechts KachelX + 1 15062 KachelY 10114 -0.25349033 0.98693783 -14.523926 56.547372
    Unten links KachelX 15061 KachelY + 1 10115 -0.25368207 0.98683212 -14.534912 56.541316
    Unten rechts KachelX + 1 15062 KachelY + 1 10115 -0.25349033 0.98683212 -14.523926 56.541316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98693783-0.98683212) × R
    0.000105710000000037 × 6371000     		dl = 673.478410000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98693783-0.98683212) × R
    0.000105710000000037 × 6371000     		dr = 673.478410000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25368207--0.25349033) × cos(0.98693783) × R
    0.000191739999999996 × 0.551247337752711 × 6371000     		do = 673.390264288816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25368207--0.25349033) × cos(0.98683212) × R
    0.000191739999999996 × 0.55133553295269 × 6371000     		du = 673.498001387855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98693783)-sin(0.98683212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551247337752711-0.55133553295269)×R²
    abs(-0.25349033--0.25368207)×8.81951999787134e-05×R²
    0.000191739999999996×8.81951999787134e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.81951999787134e-05×40589641000000     		ar = 453550.084230589m²