Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15060 / 15023
↖ ↑ ↗
← S 81.669241°
E150.908203°		 ← 354 m → S 81.669241°
E150.930176°		 →
↑
353.91 m
↓
↑
353.91 m
↓
S 81.672424°
E150.908203°		 ← 353.87 m →
125 260 m²		 S 81.672424°
E150.930176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919219970703125 y=0.916961669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919219970703125 × 214)
    floor (0.919219970703125 × 16384)
    floor (15060.5)     		tx = 15060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916961669921875 × 214)
    floor (0.916961669921875 × 16384)
    floor (15023.5)     		ty = 15023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15060 / 15023 ti = "14/15060/15023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15060/15023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15060 ÷ 214
    15060 ÷ 16384     		x = 0.919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15023 ÷ 214
    15023 ÷ 16384     		y = 0.91693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919189453125 × 2 - 1) × π
    0.83837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63384501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91693115234375 × 2 - 1) × π
    -0.8338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61965569043683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63384501} λ = 2.63384501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61965569043683))-π/2
    2×atan(0.0728279338651847)-π/2
    2×0.0726995845176451-π/2
    0.14539916903529-1.57079632675     		φ = -1.42539716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63384501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42539716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.669241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15060 KachelY 15023 2.63384501 -1.42539716 150.908203 -81.669241
    Oben rechts KachelX + 1 15061 KachelY 15023 2.63422851 -1.42539716 150.930176 -81.669241
    Unten links KachelX 15060 KachelY + 1 15024 2.63384501 -1.42545271 150.908203 -81.672424
    Unten rechts KachelX + 1 15061 KachelY + 1 15024 2.63422851 -1.42545271 150.930176 -81.672424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42539716--1.42545271) × R
    5.55500000001263e-05 × 6371000     		dl = 353.909050000805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42539716--1.42545271) × R
    5.55500000001263e-05 × 6371000     		dr = 353.909050000805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63384501-2.63422851) × cos(-1.42539716) × R
    0.00038349999999987 × 0.144887396089728 × 6371000     		do = 354.000259786897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63384501-2.63422851) × cos(-1.42545271) × R
    0.00038349999999987 × 0.144832432021451 × 6371000     		du = 353.865967260604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42539716)-sin(-1.42545271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144887396089728-0.144832432021451)×R²
    abs(2.63422851-2.63384501)×5.49640682770136e-05×R²
    0.00038349999999987×5.49640682770136e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.49640682770136e-05×40589641000000     		ar = 125260.13200315m²