Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1506 / 1826
↖ ↑ ↗
← N 19.145168°
W 47.636719°		 ← 9 232.45 m → N 19.145168°
W 47.548828°		 →
↑
9 234.76 m
↓
↑
9 234.76 m
↓
N 19.062118°
W 47.636719°		 ← 9 237.09 m →
85 280 916 m²		 N 19.062118°
W 47.548828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3677978515625 y=0.4459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3677978515625 × 212)
    floor (0.3677978515625 × 4096)
    floor (1506.5)     		tx = 1506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4459228515625 × 212)
    floor (0.4459228515625 × 4096)
    floor (1826.5)     		ty = 1826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1506 / 1826 ti = "12/1506/1826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1506/1826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1506 ÷ 212
    1506 ÷ 4096     		x = 0.36767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1826 ÷ 212
    1826 ÷ 4096     		y = 0.44580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    0.1083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.340543734900879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83141759} λ = -0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340543734900879))-π/2
    2×atan(1.40571171732486)-π/2
    2×0.952471273828794-π/2
    1.90494254765759-1.57079632675     		φ = 0.33414622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33414622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.145168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1506 KachelY 1826 -0.83141759 0.33414622 -47.636719 19.145168
    Oben rechts KachelX + 1 1507 KachelY 1826 -0.82988361 0.33414622 -47.548828 19.145168
    Unten links KachelX 1506 KachelY + 1 1827 -0.83141759 0.33269672 -47.636719 19.062118
    Unten rechts KachelX + 1 1507 KachelY + 1 1827 -0.82988361 0.33269672 -47.548828 19.062118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33414622-0.33269672) × R
    0.00144949999999999 × 6371000     		dl = 9234.76449999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33414622-0.33269672) × R
    0.00144949999999999 × 6371000     		dr = 9234.76449999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83141759--0.82988361) × cos(0.33414622) × R
    0.00153398000000005 × 0.944690661931055 × 6371000     		do = 9232.4491613038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83141759--0.82988361) × cos(0.33269672) × R
    0.00153398000000005 × 0.945165051322812 × 6371000     		du = 9237.08536246313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33414622)-sin(0.33269672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944690661931055-0.945165051322812)×R²
    abs(-0.82988361--0.83141759)×0.000474389391756591×R²
    0.00153398000000005×0.000474389391756591×6371000²
    0.00153398000000005×0.000474389391756591×40589641000000     		ar = 85280915.8074273m²