Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15059 / 10193
↖ ↑ ↗
← N 56.065903°
W 14.556885°		 ← 681.97 m → N 56.065903°
W 14.545898°		 →
↑
681.95 m
↓
↑
681.95 m
↓
N 56.059770°
W 14.556885°		 ← 682.08 m →
465 105 m²		 N 56.059770°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459579467773438 y=0.311080932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459579467773438 × 215)
    floor (0.459579467773438 × 32768)
    floor (15059.5)     		tx = 15059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311080932617188 × 215)
    floor (0.311080932617188 × 32768)
    floor (10193.5)     		ty = 10193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15059 / 10193 ti = "15/15059/10193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15059/10193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15059 ÷ 215
    15059 ÷ 32768     		x = 0.459564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10193 ÷ 215
    10193 ÷ 32768     		y = 0.311065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.08087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25406557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311065673828125 × 2 - 1) × π
    0.37786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18710938219107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25406557} λ = -0.25406557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18710938219107))-π/2
    2×atan(3.27759323156812)-π/2
    2×1.2746654657946-π/2
    2.54933093158919-1.57079632675     		φ = 0.97853460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25406557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.556885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97853460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.065903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15059 KachelY 10193 -0.25406557 0.97853460 -14.556885 56.065903
    Oben rechts KachelX + 1 15060 KachelY 10193 -0.25387382 0.97853460 -14.545898 56.065903
    Unten links KachelX 15059 KachelY + 1 10194 -0.25406557 0.97842756 -14.556885 56.059770
    Unten rechts KachelX + 1 15060 KachelY + 1 10194 -0.25387382 0.97842756 -14.545898 56.059770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97853460-0.97842756) × R
    0.000107040000000058 × 6371000     		dl = 681.951840000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97853460-0.97842756) × R
    0.000107040000000058 × 6371000     		dr = 681.951840000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25406557--0.25387382) × cos(0.97853460) × R
    0.000191750000000046 × 0.558238959103158 × 6371000     		do = 681.966623319727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25406557--0.25387382) × cos(0.97842756) × R
    0.000191750000000046 × 0.55832776487552 × 6371000     		du = 682.075111936871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97853460)-sin(0.97842756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558238959103158-0.55832776487552)×R²
    abs(-0.25387382--0.25406557)×8.88057723623659e-05×R²
    0.000191750000000046×8.88057723623659e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.88057723623659e-05×40589641000000     		ar = 465105.386041606m²