Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15058 / 7661
↖ ↑ ↗
← N 68.732399°
W 14.567871°		 ← 443.12 m → N 68.732399°
W 14.556885°		 →
↑
443.17 m
↓
↑
443.17 m
↓
N 68.728413°
W 14.567871°		 ← 443.20 m →
196 393 m²		 N 68.728413°
W 14.556885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459548950195312 y=0.233810424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459548950195312 × 215)
    floor (0.459548950195312 × 32768)
    floor (15058.5)     		tx = 15058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233810424804688 × 215)
    floor (0.233810424804688 × 32768)
    floor (7661.5)     		ty = 7661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15058 / 7661 ti = "15/15058/7661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15058/7661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15058 ÷ 215
    15058 ÷ 32768     		x = 0.45953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7661 ÷ 215
    7661 ÷ 32768     		y = 0.233795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45953369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25425732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233795166015625 × 2 - 1) × π
    0.53240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.672614301543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25425732} λ = -0.25425732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.672614301543))-π/2
    2×atan(5.32607357467779)-π/2
    2×1.38520149431875-π/2
    2.7704029886375-1.57079632675     		φ = 1.19960666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25425732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19960666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.732399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15058 KachelY 7661 -0.25425732 1.19960666 -14.567871 68.732399
    Oben rechts KachelX + 1 15059 KachelY 7661 -0.25406557 1.19960666 -14.556885 68.732399
    Unten links KachelX 15058 KachelY + 1 7662 -0.25425732 1.19953710 -14.567871 68.728413
    Unten rechts KachelX + 1 15059 KachelY + 1 7662 -0.25406557 1.19953710 -14.556885 68.728413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19960666-1.19953710) × R
    6.9560000000024e-05 × 6371000     		dl = 443.166760000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19960666-1.19953710) × R
    6.9560000000024e-05 × 6371000     		dr = 443.166760000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25425732--0.25406557) × cos(1.19960666) × R
    0.000191749999999991 × 0.362724334689959 × 6371000     		do = 443.118284187369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25425732--0.25406557) × cos(1.19953710) × R
    0.000191749999999991 × 0.362789156531801 × 6371000     		du = 443.19747309362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19960666)-sin(1.19953710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362724334689959-0.362789156531801)×R²
    abs(-0.25406557--0.25425732)×6.48218418419222e-05×R²
    0.000191749999999991×6.48218418419222e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.48218418419222e-05×40589641000000     		ar = 196392.841324849m²