Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15057 / 10156
↖ ↑ ↗
← N 56.292157°
W 14.578857°		 ← 677.92 m → N 56.292157°
W 14.567871°		 →
↑
678 m
↓
↑
678 m
↓
N 56.286059°
W 14.578857°		 ← 678.03 m →
459 670 m²		 N 56.286059°
W 14.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459518432617188 y=0.309951782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459518432617188 × 215)
    floor (0.459518432617188 × 32768)
    floor (15057.5)     		tx = 15057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309951782226562 × 215)
    floor (0.309951782226562 × 32768)
    floor (10156.5)     		ty = 10156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15057 / 10156 ti = "15/15057/10156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15057/10156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15057 ÷ 215
    15057 ÷ 32768     		x = 0.459503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10156 ÷ 215
    10156 ÷ 32768     		y = 0.3099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3099365234375 × 2 - 1) × π
    0.380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19420404333484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25444906} λ = -0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19420404333484))-π/2
    2×atan(3.30092932787748)-π/2
    2×1.27663990198954-π/2
    2.55327980397908-1.57079632675     		φ = 0.98248348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98248348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.292157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15057 KachelY 10156 -0.25444906 0.98248348 -14.578857 56.292157
    Oben rechts KachelX + 1 15058 KachelY 10156 -0.25425732 0.98248348 -14.567871 56.292157
    Unten links KachelX 15057 KachelY + 1 10157 -0.25444906 0.98237706 -14.578857 56.286059
    Unten rechts KachelX + 1 15058 KachelY + 1 10157 -0.25425732 0.98237706 -14.567871 56.286059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98248348-0.98237706) × R
    0.00010641999999994 × 6371000     		dl = 678.001819999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98248348-0.98237706) × R
    0.00010641999999994 × 6371000     		dr = 678.001819999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25444906--0.25425732) × cos(0.98248348) × R
    0.000191739999999996 × 0.554958307511156 × 6371000     		do = 677.923494175412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25444906--0.25425732) × cos(0.98237706) × R
    0.000191739999999996 × 0.55504683284251 × 6371000     		du = 678.031634554864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98248348)-sin(0.98237706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554958307511156-0.55504683284251)×R²
    abs(-0.25425732--0.25444906)×8.85253313541723e-05×R²
    0.000191739999999996×8.85253313541723e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.85253313541723e-05×40589641000000     		ar = 459670.022991803m²