Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15056 / 20945
↖ ↑ ↗
← S 44.723320°
W 14.589844°		 ← 867.99 m → S 44.723320°
W 14.578857°		 →
↑
867.92 m
↓
↑
867.92 m
↓
S 44.731126°
W 14.589844°		 ← 867.87 m →
753 297 m²		 S 44.731126°
W 14.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459487915039062 y=0.639205932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459487915039062 × 215)
    floor (0.459487915039062 × 32768)
    floor (15056.5)     		tx = 15056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639205932617188 × 215)
    floor (0.639205932617188 × 32768)
    floor (20945.5)     		ty = 20945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15056 / 20945 ti = "15/15056/20945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15056/20945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15056 ÷ 215
    15056 ÷ 32768     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20945 ÷ 215
    20945 ÷ 32768     		y = 0.639190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.27838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.874560796668304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874560796668304))-π/2
    2×atan(0.417045147078547)-π/2
    2×0.395113568545842-π/2
    0.790227137091683-1.57079632675     		φ = -0.78056919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78056919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.723320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15056 KachelY 20945 -0.25464081 -0.78056919 -14.589844 -44.723320
    Oben rechts KachelX + 1 15057 KachelY 20945 -0.25444906 -0.78056919 -14.578857 -44.723320
    Unten links KachelX 15056 KachelY + 1 20946 -0.25464081 -0.78070542 -14.589844 -44.731126
    Unten rechts KachelX + 1 15057 KachelY + 1 20946 -0.25444906 -0.78070542 -14.578857 -44.731126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78056919--0.78070542) × R
    0.000136229999999959 × 6371000     		dl = 867.921329999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78056919--0.78070542) × R
    0.000136229999999959 × 6371000     		dr = 867.921329999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25444906) × cos(-0.78056919) × R
    0.000191749999999991 × 0.710513123261372 × 6371000     		do = 867.990719016137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25444906) × cos(-0.78070542) × R
    0.000191749999999991 × 0.710417253804073 × 6371000     		du = 867.873601124224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78056919)-sin(-0.78070542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710513123261372-0.710417253804073)×R²
    abs(-0.25444906--0.25464081)×9.58694572988916e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58694572988916e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58694572988916e-05×40589641000000     		ar = 753296.835882562m²