Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15056 / 19709
↖ ↑ ↗
← S 34.279914°
W 14.589844°		 ← 1 009.44 m → S 34.279914°
W 14.578857°		 →
↑
1 009.42 m
↓
↑
1 009.42 m
↓
S 34.288992°
W 14.589844°		 ← 1 009.33 m →
1 018 890 m²		 S 34.288992°
W 14.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459487915039062 y=0.601486206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459487915039062 × 215)
    floor (0.459487915039062 × 32768)
    floor (15056.5)     		tx = 15056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601486206054688 × 215)
    floor (0.601486206054688 × 32768)
    floor (19709.5)     		ty = 19709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15056 / 19709 ti = "15/15056/19709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15056/19709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15056 ÷ 215
    15056 ÷ 32768     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19709 ÷ 215
    19709 ÷ 32768     		y = 0.601470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.20294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.637560764946747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.637560764946747))-π/2
    2×atan(0.528580184143377)-π/2
    2×0.486249476626723-π/2
    0.972498953253446-1.57079632675     		φ = -0.59829737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59829737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.279914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15056 KachelY 19709 -0.25464081 -0.59829737 -14.589844 -34.279914
    Oben rechts KachelX + 1 15057 KachelY 19709 -0.25444906 -0.59829737 -14.578857 -34.279914
    Unten links KachelX 15056 KachelY + 1 19710 -0.25464081 -0.59845581 -14.589844 -34.288992
    Unten rechts KachelX + 1 15057 KachelY + 1 19710 -0.25444906 -0.59845581 -14.578857 -34.288992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59829737--0.59845581) × R
    0.000158439999999982 × 6371000     		dl = 1009.42123999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59829737--0.59845581) × R
    0.000158439999999982 × 6371000     		dr = 1009.42123999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25444906) × cos(-0.59829737) × R
    0.000191749999999991 × 0.826295795357053 × 6371000     		do = 1009.43537571809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25444906) × cos(-0.59845581) × R
    0.000191749999999991 × 0.826206545808571 × 6371000     		du = 1009.32634496662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59829737)-sin(-0.59845581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826295795357053-0.826206545808571)×R²
    abs(-0.25444906--0.25464081)×8.92495484819955e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92495484819955e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92495484819955e-05×40589641000000     		ar = 1018890.48181003m²