Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15055 / 19707
↖ ↑ ↗
← S 34.261757°
W 14.600830°		 ← 1 009.65 m → S 34.261757°
W 14.589844°		 →
↑
1 009.55 m
↓
↑
1 009.55 m
↓
S 34.270836°
W 14.600830°		 ← 1 009.54 m →
1 019 239 m²		 S 34.270836°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459457397460938 y=0.601425170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459457397460938 × 215)
    floor (0.459457397460938 × 32768)
    floor (15055.5)     		tx = 15055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601425170898438 × 215)
    floor (0.601425170898438 × 32768)
    floor (19707.5)     		ty = 19707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15055 / 19707 ti = "15/15055/19707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15055/19707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15055 ÷ 215
    15055 ÷ 32768     		x = 0.459442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19707 ÷ 215
    19707 ÷ 32768     		y = 0.601409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.08111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25483256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.20281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.637177269749786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25483256} λ = -0.25483256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.637177269749786))-π/2
    2×atan(0.528782930978939)-π/2
    2×0.486407933970738-π/2
    0.972815867941476-1.57079632675     		φ = -0.59798046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25483256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.600830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59798046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.261757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15055 KachelY 19707 -0.25483256 -0.59798046 -14.600830 -34.261757
    Oben rechts KachelX + 1 15056 KachelY 19707 -0.25464081 -0.59798046 -14.589844 -34.261757
    Unten links KachelX 15055 KachelY + 1 19708 -0.25483256 -0.59813892 -14.600830 -34.270836
    Unten rechts KachelX + 1 15056 KachelY + 1 19708 -0.25464081 -0.59813892 -14.589844 -34.270836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59798046--0.59813892) × R
    0.000158459999999971 × 6371000     		dl = 1009.54865999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59798046--0.59813892) × R
    0.000158459999999971 × 6371000     		dr = 1009.54865999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25483256--0.25464081) × cos(-0.59798046) × R
    0.000191749999999991 × 0.826474249112925 × 6371000     		do = 1009.65338183058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25483256--0.25464081) × cos(-0.59813892) × R
    0.000191749999999991 × 0.826385029793894 × 6371000     		du = 1009.54438800859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59798046)-sin(-0.59813892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826474249112925-0.826385029793894)×R²
    abs(-0.25464081--0.25483256)×8.921931903072e-05×R²
    0.000191749999999991×8.921931903072e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.921931903072e-05×40589641000000     		ar = 1019239.20354088m²