Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15055 / 10145
↖ ↑ ↗
← N 56.359164°
W 14.600830°		 ← 676.77 m → N 56.359164°
W 14.589844°		 →
↑
676.79 m
↓
↑
676.79 m
↓
N 56.353078°
W 14.600830°		 ← 676.88 m →
458 069 m²		 N 56.353078°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459457397460938 y=0.309616088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459457397460938 × 215)
    floor (0.459457397460938 × 32768)
    floor (15055.5)     		tx = 15055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309616088867188 × 215)
    floor (0.309616088867188 × 32768)
    floor (10145.5)     		ty = 10145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15055 / 10145 ti = "15/15055/10145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15055/10145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15055 ÷ 215
    15055 ÷ 32768     		x = 0.459442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10145 ÷ 215
    10145 ÷ 32768     		y = 0.309600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.08111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25483256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309600830078125 × 2 - 1) × π
    0.38079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19631326691812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25483256} λ = -0.25483256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19631326691812))-π/2
    2×atan(3.30789907365474)-π/2
    2×1.27722465427532-π/2
    2.55444930855064-1.57079632675     		φ = 0.98365298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25483256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.600830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98365298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.359164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15055 KachelY 10145 -0.25483256 0.98365298 -14.600830 56.359164
    Oben rechts KachelX + 1 15056 KachelY 10145 -0.25464081 0.98365298 -14.589844 56.359164
    Unten links KachelX 15055 KachelY + 1 10146 -0.25483256 0.98354675 -14.600830 56.353078
    Unten rechts KachelX + 1 15056 KachelY + 1 10146 -0.25464081 0.98354675 -14.589844 56.353078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98365298-0.98354675) × R
    0.000106229999999985 × 6371000     		dl = 676.791329999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98365298-0.98354675) × R
    0.000106229999999985 × 6371000     		dr = 676.791329999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25483256--0.25464081) × cos(0.98365298) × R
    0.000191749999999991 × 0.553985046705521 × 6371000     		do = 676.769876968514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25483256--0.25464081) × cos(0.98354675) × R
    0.000191749999999991 × 0.554073482882071 × 6371000     		du = 676.877914072907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98365298)-sin(0.98354675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553985046705521-0.554073482882071)×R²
    abs(-0.25464081--0.25483256)×8.84361765496333e-05×R²
    0.000191749999999991×8.84361765496333e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.84361765496333e-05×40589641000000     		ar = 458068.544855657m²