Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15054 / 19705
↖ ↑ ↗
← S 34.243595°
W 14.611817°		 ← 1 009.87 m → S 34.243595°
W 14.600830°		 →
↑
1 009.80 m
↓
↑
1 009.80 m
↓
S 34.252676°
W 14.611817°		 ← 1 009.76 m →
1 019 717 m²		 S 34.252676°
W 14.600830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459426879882812 y=0.601364135742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459426879882812 × 215)
    floor (0.459426879882812 × 32768)
    floor (15054.5)     		tx = 15054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601364135742188 × 215)
    floor (0.601364135742188 × 32768)
    floor (19705.5)     		ty = 19705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15054 / 19705 ti = "15/15054/19705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15054/19705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15054 ÷ 215
    15054 ÷ 32768     		x = 0.45941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19705 ÷ 215
    19705 ÷ 32768     		y = 0.601348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45941162109375 × 2 - 1) × π
    -0.0811767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25502431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.20269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.636793774552826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25502431} λ = -0.25502431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.636793774552826))-π/2
    2×atan(0.528985755581849)-π/2
    2×0.486566425529073-π/2
    0.973132851058145-1.57079632675     		φ = -0.59766348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25502431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59766348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.243595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15054 KachelY 19705 -0.25502431 -0.59766348 -14.611817 -34.243595
    Oben rechts KachelX + 1 15055 KachelY 19705 -0.25483256 -0.59766348 -14.600830 -34.243595
    Unten links KachelX 15054 KachelY + 1 19706 -0.25502431 -0.59782198 -14.611817 -34.252676
    Unten rechts KachelX + 1 15055 KachelY + 1 19706 -0.25483256 -0.59782198 -14.600830 -34.252676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59766348--0.59782198) × R
    0.00015849999999995 × 6371000     		dl = 1009.80349999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59766348--0.59782198) × R
    0.00015849999999995 × 6371000     		dr = 1009.80349999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25502431--0.25483256) × cos(-0.59766348) × R
    0.000191749999999991 × 0.826652659254256 × 6371000     		do = 1009.87133466183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25502431--0.25483256) × cos(-0.59782198) × R
    0.000191749999999991 × 0.826563458936412 × 6371000     		du = 1009.76236405243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59766348)-sin(-0.59782198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826652659254256-0.826563458936412)×R²
    abs(-0.25483256--0.25502431)×8.92003178442069e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92003178442069e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92003178442069e-05×40589641000000     		ar = 1019716.59097355m²