Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15052 / 14140
↖ ↑ ↗
← N 70.966864°
W 97.316895°		 ← 199.21 m → N 70.966864°
W 97.311401°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
N 70.965073°
W 97.316895°		 ← 199.23 m →
39 688 m²		 N 70.965073°
W 97.311401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.229682922363281 y=0.215766906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.229682922363281 × 216)
    floor (0.229682922363281 × 65536)
    floor (15052.5)     		tx = 15052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215766906738281 × 216)
    floor (0.215766906738281 × 65536)
    floor (14140.5)     		ty = 14140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15052 / 14140 ti = "16/15052/14140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15052/14140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15052 ÷ 216
    15052 ÷ 65536     		x = 0.22967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14140 ÷ 216
    14140 ÷ 65536     		y = 0.21575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.5406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69850023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21575927734375 × 2 - 1) × π
    0.5684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78593713224481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69850023} λ = -1.69850023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78593713224481))-π/2
    2×atan(5.9651674798364)-π/2
    2×1.40470088236832-π/2
    2.80940176473664-1.57079632675     		φ = 1.23860544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69850023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.316895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23860544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.966864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15052 KachelY 14140 -1.69850023 1.23860544 -97.316895 70.966864
    Oben rechts KachelX + 1 15053 KachelY 14140 -1.69840435 1.23860544 -97.311401 70.966864
    Unten links KachelX 15052 KachelY + 1 14141 -1.69850023 1.23857417 -97.316895 70.965073
    Unten rechts KachelX + 1 15053 KachelY + 1 14141 -1.69840435 1.23857417 -97.311401 70.965073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23860544-1.23857417) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dl = 199.221170000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23860544-1.23857417) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dr = 199.221170000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69850023--1.69840435) × cos(1.23860544) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.326114920714068 × 6371000     		do = 199.207781968602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69850023--1.69840435) × cos(1.23857417) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.326144481027851 × 6371000     		du = 199.225838930026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23860544)-sin(1.23857417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326114920714068-0.326144481027851)×R²
    abs(-1.69840435--1.69850023)×2.95603137834832e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.95603137834832e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.95603137834832e-05×40589641000000     		ar = 39688.2060642843m²