Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15052 / 10020
↖ ↑ ↗
← N 57.112385°
W 14.633789°		 ← 663.34 m → N 57.112385°
W 14.622803°		 →
↑
663.35 m
↓
↑
663.35 m
↓
N 57.106419°
W 14.633789°		 ← 663.45 m →
440 062 m²		 N 57.106419°
W 14.622803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459365844726562 y=0.305801391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459365844726562 × 215)
    floor (0.459365844726562 × 32768)
    floor (15052.5)     		tx = 15052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305801391601562 × 215)
    floor (0.305801391601562 × 32768)
    floor (10020.5)     		ty = 10020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15052 / 10020 ti = "15/15052/10020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15052/10020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15052 ÷ 215
    15052 ÷ 32768     		x = 0.4593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10020 ÷ 215
    10020 ÷ 32768     		y = 0.3057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25540780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3057861328125 × 2 - 1) × π
    0.388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22028171672815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25540780} λ = -0.25540780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22028171672815))-π/2
    2×atan(3.38814209549082)-π/2
    2×1.28379774441553-π/2
    2.56759548883105-1.57079632675     		φ = 0.99679916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25540780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99679916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.112385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15052 KachelY 10020 -0.25540780 0.99679916 -14.633789 57.112385
    Oben rechts KachelX + 1 15053 KachelY 10020 -0.25521605 0.99679916 -14.622803 57.112385
    Unten links KachelX 15052 KachelY + 1 10021 -0.25540780 0.99669504 -14.633789 57.106419
    Unten rechts KachelX + 1 15053 KachelY + 1 10021 -0.25521605 0.99669504 -14.622803 57.106419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99679916-0.99669504) × R
    0.000104120000000041 × 6371000     		dl = 663.34852000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99679916-0.99669504) × R
    0.000104120000000041 × 6371000     		dr = 663.34852000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25540780--0.25521605) × cos(0.99679916) × R
    0.000191749999999991 × 0.542992947458015 × 6371000     		do = 663.341497087866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25540780--0.25521605) × cos(0.99669504) × R
    0.000191749999999991 × 0.543080377957659 × 6371000     		du = 663.448305617878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99679916)-sin(0.99669504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542992947458015-0.543080377957659)×R²
    abs(-0.25521605--0.25540780)×8.74304996439923e-05×R²
    0.000191749999999991×8.74304996439923e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.74304996439923e-05×40589641000000     		ar = 440062.026386062m²