Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15051 / 7585
↖ ↑ ↗
← N 69.033211°
W 14.644775°		 ← 437.14 m → N 69.033211°
W 14.633789°		 →
↑
437.18 m
↓
↑
437.18 m
↓
N 69.029279°
W 14.644775°		 ← 437.21 m →
191 123 m²		 N 69.029279°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459335327148438 y=0.231491088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459335327148438 × 215)
    floor (0.459335327148438 × 32768)
    floor (15051.5)     		tx = 15051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231491088867188 × 215)
    floor (0.231491088867188 × 32768)
    floor (7585.5)     		ty = 7585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15051 / 7585 ti = "15/15051/7585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15051/7585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15051 ÷ 215
    15051 ÷ 32768     		x = 0.459320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7585 ÷ 215
    7585 ÷ 32768     		y = 0.231475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.08135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25559955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231475830078125 × 2 - 1) × π
    0.53704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.6871871190275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25559955} λ = -0.25559955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6871871190275))-π/2
    2×atan(5.40425777116291)-π/2
    2×1.3878265747767-π/2
    2.77565314955339-1.57079632675     		φ = 1.20485682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25559955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.644775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20485682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.033211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15051 KachelY 7585 -0.25559955 1.20485682 -14.644775 69.033211
    Oben rechts KachelX + 1 15052 KachelY 7585 -0.25540780 1.20485682 -14.633789 69.033211
    Unten links KachelX 15051 KachelY + 1 7586 -0.25559955 1.20478820 -14.644775 69.029279
    Unten rechts KachelX + 1 15052 KachelY + 1 7586 -0.25540780 1.20478820 -14.633789 69.029279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20485682-1.20478820) × R
    6.86199999999637e-05 × 6371000     		dl = 437.178019999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20485682-1.20478820) × R
    6.86199999999637e-05 × 6371000     		dr = 437.178019999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25559955--0.25540780) × cos(1.20485682) × R
    0.000191749999999991 × 0.357826752433948 × 6371000     		do = 437.135205473322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25559955--0.25540780) × cos(1.20478820) × R
    0.000191749999999991 × 0.357890828123504 × 6371000     		du = 437.213482850655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20485682)-sin(1.20478820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357826752433948-0.357890828123504)×R²
    abs(-0.25540780--0.25559955)×6.40756895560757e-05×R²
    0.000191749999999991×6.40756895560757e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.40756895560757e-05×40589641000000     		ar = 191123.014249923m²