Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15051 / 10139
↖ ↑ ↗
← N 56.395665°
W 14.644775°		 ← 676.12 m → N 56.395665°
W 14.633789°		 →
↑
676.15 m
↓
↑
676.15 m
↓
N 56.389584°
W 14.644775°		 ← 676.23 m →
457 199 m²		 N 56.389584°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459335327148438 y=0.309432983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459335327148438 × 215)
    floor (0.459335327148438 × 32768)
    floor (15051.5)     		tx = 15051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309432983398438 × 215)
    floor (0.309432983398438 × 32768)
    floor (10139.5)     		ty = 10139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15051 / 10139 ti = "15/15051/10139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15051/10139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15051 ÷ 215
    15051 ÷ 32768     		x = 0.459320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10139 ÷ 215
    10139 ÷ 32768     		y = 0.309417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.08135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25559955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309417724609375 × 2 - 1) × π
    0.38116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.197463752509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25559955} λ = -0.25559955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.197463752509))-π/2
    2×atan(3.31170695391073)-π/2
    2×1.27754317759308-π/2
    2.55508635518616-1.57079632675     		φ = 0.98429003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25559955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.644775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98429003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.395665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15051 KachelY 10139 -0.25559955 0.98429003 -14.644775 56.395665
    Oben rechts KachelX + 1 15052 KachelY 10139 -0.25540780 0.98429003 -14.633789 56.395665
    Unten links KachelX 15051 KachelY + 1 10140 -0.25559955 0.98418390 -14.644775 56.389584
    Unten rechts KachelX + 1 15052 KachelY + 1 10140 -0.25540780 0.98418390 -14.633789 56.389584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98429003-0.98418390) × R
    0.000106130000000038 × 6371000     		dl = 676.154230000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98429003-0.98418390) × R
    0.000106130000000038 × 6371000     		dr = 676.154230000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25559955--0.25540780) × cos(0.98429003) × R
    0.000191749999999991 × 0.553454573247409 × 6371000     		do = 676.121829771001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25559955--0.25540780) × cos(0.98418390) × R
    0.000191749999999991 × 0.553542963617229 × 6371000     		du = 676.229810916096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98429003)-sin(0.98418390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553454573247409-0.553542963617229)×R²
    abs(-0.25540780--0.25559955)×8.83903698202237e-05×R²
    0.000191749999999991×8.83903698202237e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.83903698202237e-05×40589641000000     		ar = 457199.141578643m²