Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15050 / 9934
↖ ↑ ↗
← N 57.621876°
W 14.655762°		 ← 654.19 m → N 57.621876°
W 14.644775°		 →
↑
654.24 m
↓
↑
654.24 m
↓
N 57.615992°
W 14.655762°		 ← 654.30 m →
428 033 m²		 N 57.615992°
W 14.644775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459304809570312 y=0.303176879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459304809570312 × 215)
    floor (0.459304809570312 × 32768)
    floor (15050.5)     		tx = 15050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303176879882812 × 215)
    floor (0.303176879882812 × 32768)
    floor (9934.5)     		ty = 9934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15050 / 9934 ti = "15/15050/9934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15050/9934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15050 ÷ 215
    15050 ÷ 32768     		x = 0.45928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9934 ÷ 215
    9934 ÷ 32768     		y = 0.30316162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.0814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25579130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30316162109375 × 2 - 1) × π
    0.3936767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23677201019745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25579130} λ = -0.25579130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23677201019745))-π/2
    2×atan(3.44447676398543)-π/2
    2×1.28824388666712-π/2
    2.57648777333424-1.57079632675     		φ = 1.00569145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25579130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00569145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.621876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15050 KachelY 9934 -0.25579130 1.00569145 -14.655762 57.621876
    Oben rechts KachelX + 1 15051 KachelY 9934 -0.25559955 1.00569145 -14.644775 57.621876
    Unten links KachelX 15050 KachelY + 1 9935 -0.25579130 1.00558876 -14.655762 57.615992
    Unten rechts KachelX + 1 15051 KachelY + 1 9935 -0.25559955 1.00558876 -14.644775 57.615992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00569145-1.00558876) × R
    0.000102690000000072 × 6371000     		dl = 654.237990000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00569145-1.00558876) × R
    0.000102690000000072 × 6371000     		dr = 654.237990000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25579130--0.25559955) × cos(1.00569145) × R
    0.000191749999999991 × 0.535504390811882 × 6371000     		do = 654.193182363102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25579130--0.25559955) × cos(1.00558876) × R
    0.000191749999999991 × 0.5355911130248 × 6371000     		du = 654.29912562225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00569145)-sin(1.00558876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535504390811882-0.5355911130248)×R²
    abs(-0.25559955--0.25579130)×8.67222129177225e-05×R²
    0.000191749999999991×8.67222129177225e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.67222129177225e-05×40589641000000     		ar = 428032.689130252m²