Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15050 / 19689
↖ ↑ ↗
← S 34.098159°
W 14.655762°		 ← 1 011.61 m → S 34.098159°
W 14.644775°		 →
↑
1 011.52 m
↓
↑
1 011.52 m
↓
S 34.107256°
W 14.655762°		 ← 1 011.50 m →
1 023 216 m²		 S 34.107256°
W 14.644775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459304809570312 y=0.600875854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459304809570312 × 215)
    floor (0.459304809570312 × 32768)
    floor (15050.5)     		tx = 15050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600875854492188 × 215)
    floor (0.600875854492188 × 32768)
    floor (19689.5)     		ty = 19689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15050 / 19689 ti = "15/15050/19689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15050/19689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15050 ÷ 215
    15050 ÷ 32768     		x = 0.45928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19689 ÷ 215
    19689 ÷ 32768     		y = 0.600860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.0814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25579130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.20172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.633725812977142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25579130} λ = -0.25579130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.633725812977142))-π/2
    2×atan(0.530611155611568)-π/2
    2×0.487835588683106-π/2
    0.975671177366211-1.57079632675     		φ = -0.59512515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25579130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59512515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.098159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15050 KachelY 19689 -0.25579130 -0.59512515 -14.655762 -34.098159
    Oben rechts KachelX + 1 15051 KachelY 19689 -0.25559955 -0.59512515 -14.644775 -34.098159
    Unten links KachelX 15050 KachelY + 1 19690 -0.25579130 -0.59528392 -14.655762 -34.107256
    Unten rechts KachelX + 1 15051 KachelY + 1 19690 -0.25559955 -0.59528392 -14.644775 -34.107256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59512515--0.59528392) × R
    0.000158769999999975 × 6371000     		dl = 1011.52366999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59512515--0.59528392) × R
    0.000158769999999975 × 6371000     		dr = 1011.52366999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25579130--0.25559955) × cos(-0.59512515) × R
    0.000191749999999991 × 0.8280783446837 × 6371000     		do = 1011.61300794059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25579130--0.25559955) × cos(-0.59528392) × R
    0.000191749999999991 × 0.827989325817391 × 6371000     		du = 1011.50425899951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59512515)-sin(-0.59528392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8280783446837-0.827989325817391)×R²
    abs(-0.25559955--0.25579130)×8.90188663091873e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90188663091873e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90188663091873e-05×40589641000000     		ar = 1023215.50349663m²