Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1505 / 1759
↖ ↑ ↗
← N 24.607069°
W 47.724610°		 ← 8 885.45 m → N 24.607069°
W 47.636719°		 →
↑
8 888.31 m
↓
↑
8 888.31 m
↓
N 24.527135°
W 47.724610°		 ← 8 891.12 m →
79 001 837 m²		 N 24.527135°
W 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3675537109375 y=0.4295654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3675537109375 × 212)
    floor (0.3675537109375 × 4096)
    floor (1505.5)     		tx = 1505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4295654296875 × 212)
    floor (0.4295654296875 × 4096)
    floor (1759.5)     		ty = 1759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1505 / 1759 ti = "12/1505/1759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1505/1759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1505 ÷ 212
    1505 ÷ 4096     		x = 0.367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1759 ÷ 212
    1759 ÷ 4096     		y = 0.429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429443359375 × 2 - 1) × π
    0.14111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.443320447686279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83295157} λ = -0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443320447686279))-π/2
    2×atan(1.55787147067226)-π/2
    2×1.00013535125115-π/2
    2.00027070250229-1.57079632675     		φ = 0.42947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.607069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1505 KachelY 1759 -0.83295157 0.42947438 -47.724610 24.607069
    Oben rechts KachelX + 1 1506 KachelY 1759 -0.83141759 0.42947438 -47.636719 24.607069
    Unten links KachelX 1505 KachelY + 1 1760 -0.83295157 0.42807926 -47.724610 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 1506 KachelY + 1 1760 -0.83141759 0.42807926 -47.636719 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42947438-0.42807926) × R
    0.00139511999999997 × 6371000     		dl = 8888.30951999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42947438-0.42807926) × R
    0.00139511999999997 × 6371000     		dr = 8888.30951999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83295157--0.83141759) × cos(0.42947438) × R
    0.00153397999999993 × 0.909184739733086 × 6371000     		do = 8885.45026015187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83295157--0.83141759) × cos(0.42807926) × R
    0.00153397999999993 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 8891.11891661315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42947438)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909184739733086-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.83141759--0.83295157)×0.000580033177665751×R²
    0.00153397999999993×0.000580033177665751×6371000²
    0.00153397999999993×0.000580033177665751×40589641000000     		ar = 79001837.3372239m²