Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15047 / 9941
↖ ↑ ↗
← N 57.580670°
W 14.688721°		 ← 654.94 m → N 57.580670°
W 14.677734°		 →
↑
655 m
↓
↑
655 m
↓
N 57.574779°
W 14.688721°		 ← 655.04 m →
429 019 m²		 N 57.574779°
W 14.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459213256835938 y=0.303390502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459213256835938 × 215)
    floor (0.459213256835938 × 32768)
    floor (15047.5)     		tx = 15047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303390502929688 × 215)
    floor (0.303390502929688 × 32768)
    floor (9941.5)     		ty = 9941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15047 / 9941 ti = "15/15047/9941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15047/9941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15047 ÷ 215
    15047 ÷ 32768     		x = 0.459197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9941 ÷ 215
    9941 ÷ 32768     		y = 0.303375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.08160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25636654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303375244140625 × 2 - 1) × π
    0.39324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23542977700809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25636654} λ = -0.25636654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23542977700809))-π/2
    2×atan(3.43985657433241)-π/2
    2×1.28788429704332-π/2
    2.57576859408665-1.57079632675     		φ = 1.00497227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25636654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.688721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00497227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.580670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15047 KachelY 9941 -0.25636654 1.00497227 -14.688721 57.580670
    Oben rechts KachelX + 1 15048 KachelY 9941 -0.25617479 1.00497227 -14.677734 57.580670
    Unten links KachelX 15047 KachelY + 1 9942 -0.25636654 1.00486946 -14.688721 57.574779
    Unten rechts KachelX + 1 15048 KachelY + 1 9942 -0.25617479 1.00486946 -14.677734 57.574779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00497227-1.00486946) × R
    0.000102809999999787 × 6371000     		dl = 655.002509998641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00497227-1.00486946) × R
    0.000102809999999787 × 6371000     		dr = 655.002509998641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25636654--0.25617479) × cos(1.00497227) × R
    0.000191749999999991 × 0.536111623115192 × 6371000     		do = 654.935001178693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25636654--0.25617479) × cos(1.00486946) × R
    0.000191749999999991 × 0.536198407045136 × 6371000     		du = 655.041019833782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00497227)-sin(1.00486946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536111623115192-0.536198407045136)×R²
    abs(-0.25617479--0.25636654)×8.67839299442119e-05×R²
    0.000191749999999991×8.67839299442119e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.67839299442119e-05×40589641000000     		ar = 429018.791277884m²