Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15043 / 7604
↖ ↑ ↗
← N 68.958391°
W 14.732666°		 ← 438.62 m → N 68.958391°
W 14.721680°		 →
↑
438.71 m
↓
↑
438.71 m
↓
N 68.954446°
W 14.732666°		 ← 438.70 m →
192 445 m²		 N 68.954446°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459091186523438 y=0.232070922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459091186523438 × 215)
    floor (0.459091186523438 × 32768)
    floor (15043.5)     		tx = 15043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232070922851562 × 215)
    floor (0.232070922851562 × 32768)
    floor (7604.5)     		ty = 7604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15043 / 7604 ti = "15/15043/7604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15043/7604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15043 ÷ 215
    15043 ÷ 32768     		x = 0.459075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7604 ÷ 215
    7604 ÷ 32768     		y = 0.2320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.08184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25713353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2320556640625 × 2 - 1) × π
    0.535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68354391465637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25713353} λ = -0.25713353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68354391465637))-π/2
    2×atan(5.38460477730264)-π/2
    2×1.3871736469781-π/2
    2.7743472939562-1.57079632675     		φ = 1.20355097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25713353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20355097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.958391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15043 KachelY 7604 -0.25713353 1.20355097 -14.732666 68.958391
    Oben rechts KachelX + 1 15044 KachelY 7604 -0.25694178 1.20355097 -14.721680 68.958391
    Unten links KachelX 15043 KachelY + 1 7605 -0.25713353 1.20348211 -14.732666 68.954446
    Unten rechts KachelX + 1 15044 KachelY + 1 7605 -0.25694178 1.20348211 -14.721680 68.954446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20355097-1.20348211) × R
    6.88600000000594e-05 × 6371000     		dl = 438.707060000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20355097-1.20348211) × R
    6.88600000000594e-05 × 6371000     		dr = 438.707060000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25713353--0.25694178) × cos(1.20355097) × R
    0.000191749999999991 × 0.359045834046651 × 6371000     		do = 438.624483420354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25713353--0.25694178) × cos(1.20348211) × R
    0.000191749999999991 × 0.359110101605638 × 6371000     		du = 438.702995192913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20355097)-sin(1.20348211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359045834046651-0.359110101605638)×R²
    abs(-0.25694178--0.25713353)×6.42675589863639e-05×R²
    0.000191749999999991×6.42675589863639e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.42675589863639e-05×40589641000000     		ar = 192444.879476686m²