Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15043 / 7570
↖ ↑ ↗
← N 69.092100°
W 14.732666°		 ← 435.96 m → N 69.092100°
W 14.721680°		 →
↑
436.03 m
↓
↑
436.03 m
↓
N 69.088179°
W 14.732666°		 ← 436.04 m →
190 110 m²		 N 69.088179°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459091186523438 y=0.231033325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459091186523438 × 215)
    floor (0.459091186523438 × 32768)
    floor (15043.5)     		tx = 15043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231033325195312 × 215)
    floor (0.231033325195312 × 32768)
    floor (7570.5)     		ty = 7570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15043 / 7570 ti = "15/15043/7570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15043/7570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15043 ÷ 215
    15043 ÷ 32768     		x = 0.459075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7570 ÷ 215
    7570 ÷ 32768     		y = 0.23101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.08184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25713353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23101806640625 × 2 - 1) × π
    0.5379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6900633330047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25713353} λ = -0.25713353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6900633330047))-π/2
    2×atan(5.41982394799736)-π/2
    2×1.38834047741361-π/2
    2.77668095482722-1.57079632675     		φ = 1.20588463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25713353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20588463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.092100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15043 KachelY 7570 -0.25713353 1.20588463 -14.732666 69.092100
    Oben rechts KachelX + 1 15044 KachelY 7570 -0.25694178 1.20588463 -14.721680 69.092100
    Unten links KachelX 15043 KachelY + 1 7571 -0.25713353 1.20581619 -14.732666 69.088179
    Unten rechts KachelX + 1 15044 KachelY + 1 7571 -0.25694178 1.20581619 -14.721680 69.088179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20588463-1.20581619) × R
    6.84399999999474e-05 × 6371000     		dl = 436.031239999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20588463-1.20581619) × R
    6.84399999999474e-05 × 6371000     		dr = 436.031239999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25713353--0.25694178) × cos(1.20588463) × R
    0.000191749999999991 × 0.356866806963296 × 6371000     		do = 435.962498408515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25713353--0.25694178) × cos(1.20581619) × R
    0.000191749999999991 × 0.356930739714636 × 6371000     		du = 436.040601166912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20588463)-sin(1.20581619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356866806963296-0.356930739714636)×R²
    abs(-0.25694178--0.25713353)×6.39327513396459e-05×R²
    0.000191749999999991×6.39327513396459e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.39327513396459e-05×40589641000000     		ar = 190110.296470343m²