Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15043 / 21182
↖ ↑ ↗
← S 46.543750°
W 14.732666°		 ← 840.24 m → S 46.543750°
W 14.721680°		 →
↑
840.14 m
↓
↑
840.14 m
↓
S 46.551305°
W 14.732666°		 ← 840.13 m →
705 877 m²		 S 46.551305°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459091186523438 y=0.646438598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459091186523438 × 215)
    floor (0.459091186523438 × 32768)
    floor (15043.5)     		tx = 15043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646438598632812 × 215)
    floor (0.646438598632812 × 32768)
    floor (21182.5)     		ty = 21182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15043 / 21182 ti = "15/15043/21182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15043/21182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15043 ÷ 215
    15043 ÷ 32768     		x = 0.459075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21182 ÷ 215
    21182 ÷ 32768     		y = 0.64642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.08184814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25713353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.2928466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.920004977508118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25713353} λ = -0.25713353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920004977508118))-π/2
    2×atan(0.398517057457689)-π/2
    2×0.379227325010696-π/2
    0.758454650021392-1.57079632675     		φ = -0.81234168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25713353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81234168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.543750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15043 KachelY 21182 -0.25713353 -0.81234168 -14.732666 -46.543750
    Oben rechts KachelX + 1 15044 KachelY 21182 -0.25694178 -0.81234168 -14.721680 -46.543750
    Unten links KachelX 15043 KachelY + 1 21183 -0.25713353 -0.81247355 -14.732666 -46.551305
    Unten rechts KachelX + 1 15044 KachelY + 1 21183 -0.25694178 -0.81247355 -14.721680 -46.551305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81234168--0.81247355) × R
    0.000131870000000034 × 6371000     		dl = 840.143770000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81234168--0.81247355) × R
    0.000131870000000034 × 6371000     		dr = 840.143770000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25713353--0.25694178) × cos(-0.81234168) × R
    0.000191749999999991 × 0.68780049529183 × 6371000     		do = 840.244081217898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25713353--0.25694178) × cos(-0.81247355) × R
    0.000191749999999991 × 0.687704764908881 × 6371000     		du = 840.12713322467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81234168)-sin(-0.81247355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68780049529183-0.687704764908881)×R²
    abs(-0.25694178--0.25713353)×9.57303829488554e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57303829488554e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57303829488554e-05×40589641000000     		ar = 705876.704573962m²