Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15041 / 7489
↖ ↑ ↗
← N 69.407379°
W 14.754638°		 ← 429.65 m → N 69.407379°
W 14.743653°		 →
↑
429.72 m
↓
↑
429.72 m
↓
N 69.403514°
W 14.754638°		 ← 429.73 m →
184 649 m²		 N 69.403514°
W 14.743653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459030151367188 y=0.228561401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459030151367188 × 215)
    floor (0.459030151367188 × 32768)
    floor (15041.5)     		tx = 15041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228561401367188 × 215)
    floor (0.228561401367188 × 32768)
    floor (7489.5)     		ty = 7489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15041 / 7489 ti = "15/15041/7489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15041/7489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15041 ÷ 215
    15041 ÷ 32768     		x = 0.459014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7489 ÷ 215
    7489 ÷ 32768     		y = 0.228546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.08197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25751702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228546142578125 × 2 - 1) × π
    0.54290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7055948884816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25751702} λ = -0.25751702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7055948884816))-π/2
    2×atan(5.50465935181984)-π/2
    2×1.3910918040915-π/2
    2.78218360818299-1.57079632675     		φ = 1.21138728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25751702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.754638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21138728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.407379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15041 KachelY 7489 -0.25751702 1.21138728 -14.754638 69.407379
    Oben rechts KachelX + 1 15042 KachelY 7489 -0.25732528 1.21138728 -14.743653 69.407379
    Unten links KachelX 15041 KachelY + 1 7490 -0.25751702 1.21131983 -14.754638 69.403514
    Unten rechts KachelX + 1 15042 KachelY + 1 7490 -0.25732528 1.21131983 -14.743653 69.403514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21138728-1.21131983) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dl = 429.723949999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21138728-1.21131983) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dr = 429.723949999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25751702--0.25732528) × cos(1.21138728) × R
    0.000191739999999996 × 0.351721100568078 × 6371000     		do = 429.653893355835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25751702--0.25732528) × cos(1.21131983) × R
    0.000191739999999996 × 0.351784240039264 × 6371000     		du = 429.731022989444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21138728)-sin(1.21131983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351721100568078-0.351784240039264)×R²
    abs(-0.25732528--0.25751702)×6.31394711859135e-05×R²
    0.000191739999999996×6.31394711859135e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.31394711859135e-05×40589641000000     		ar = 184649.140481278m²