Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15041 / 7487
↖ ↑ ↗
← N 69.415105°
W 14.754638°		 ← 429.50 m → N 69.415105°
W 14.743653°		 →
↑
429.53 m
↓
↑
429.53 m
↓
N 69.411243°
W 14.754638°		 ← 429.58 m →
184 501 m²		 N 69.411243°
W 14.743653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459030151367188 y=0.228500366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459030151367188 × 215)
    floor (0.459030151367188 × 32768)
    floor (15041.5)     		tx = 15041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228500366210938 × 215)
    floor (0.228500366210938 × 32768)
    floor (7487.5)     		ty = 7487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15041 / 7487 ti = "15/15041/7487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15041/7487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15041 ÷ 215
    15041 ÷ 32768     		x = 0.459014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7487 ÷ 215
    7487 ÷ 32768     		y = 0.228485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.08197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25751702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228485107421875 × 2 - 1) × π
    0.54302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70597838367856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25751702} λ = -0.25751702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70597838367856))-π/2
    2×atan(5.50677076707509)-π/2
    2×1.39115923366336-π/2
    2.78231846732672-1.57079632675     		φ = 1.21152214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25751702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.754638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21152214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.415105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15041 KachelY 7487 -0.25751702 1.21152214 -14.754638 69.415105
    Oben rechts KachelX + 1 15042 KachelY 7487 -0.25732528 1.21152214 -14.743653 69.415105
    Unten links KachelX 15041 KachelY + 1 7488 -0.25751702 1.21145472 -14.754638 69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 15042 KachelY + 1 7488 -0.25732528 1.21145472 -14.743653 69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21152214-1.21145472) × R
    6.74199999999292e-05 × 6371000     		dl = 429.532819999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21152214-1.21145472) × R
    6.74199999999292e-05 × 6371000     		dr = 429.532819999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25751702--0.25732528) × cos(1.21152214) × R
    0.000191739999999996 × 0.351594854271616 × 6371000     		do = 429.499673968061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25751702--0.25732528) × cos(1.21145472) × R
    0.000191739999999996 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 429.576773203031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21152214)-sin(1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351594854271616-0.351657968858022)×R²
    abs(-0.25732528--0.25751702)×6.3114586405455e-05×R²
    0.000191739999999996×6.3114586405455e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.3114586405455e-05×40589641000000     		ar = 184500.764544554m²