Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15041 / 21060
↖ ↑ ↗
← S 45.614038°
W 14.754638°		 ← 854.48 m → S 45.614038°
W 14.743653°		 →
↑
854.41 m
↓
↑
854.41 m
↓
S 45.621721°
W 14.754638°		 ← 854.36 m →
730 028 m²		 S 45.621721°
W 14.743653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459030151367188 y=0.642715454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459030151367188 × 215)
    floor (0.459030151367188 × 32768)
    floor (15041.5)     		tx = 15041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642715454101562 × 215)
    floor (0.642715454101562 × 32768)
    floor (21060.5)     		ty = 21060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15041 / 21060 ti = "15/15041/21060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15041/21060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15041 ÷ 215
    15041 ÷ 32768     		x = 0.459014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21060 ÷ 215
    21060 ÷ 32768     		y = 0.6427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.08197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25751702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.285400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89661177049353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25751702} λ = -0.25751702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89661177049353))-π/2
    2×atan(0.40794954742615)-π/2
    2×0.387340594428439-π/2
    0.774681188856878-1.57079632675     		φ = -0.79611514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25751702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.754638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79611514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.614038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15041 KachelY 21060 -0.25751702 -0.79611514 -14.754638 -45.614038
    Oben rechts KachelX + 1 15042 KachelY 21060 -0.25732528 -0.79611514 -14.743653 -45.614038
    Unten links KachelX 15041 KachelY + 1 21061 -0.25751702 -0.79624925 -14.754638 -45.621721
    Unten rechts KachelX + 1 15042 KachelY + 1 21061 -0.25732528 -0.79624925 -14.743653 -45.621721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79611514--0.79624925) × R
    0.000134109999999965 × 6371000     		dl = 854.414809999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79611514--0.79624925) × R
    0.000134109999999965 × 6371000     		dr = 854.414809999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25751702--0.25732528) × cos(-0.79611514) × R
    0.000191739999999996 × 0.69948827293058 × 6371000     		do = 854.477764728822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25751702--0.25732528) × cos(-0.79624925) × R
    0.000191739999999996 × 0.699392425723452 × 6371000     		du = 854.360680125017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79611514)-sin(-0.79624925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69948827293058-0.699392425723452)×R²
    abs(-0.25732528--0.25751702)×9.58472071284078e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58472071284078e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58472071284078e-05×40589641000000     		ar = 730028.438684771m²