Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15039 / 21064
↖ ↑ ↗
← S 45.644768°
W 14.776611°		 ← 854.05 m → S 45.644768°
W 14.765625°		 →
↑
853.97 m
↓
↑
853.97 m
↓
S 45.652448°
W 14.776611°		 ← 853.94 m →
729 285 m²		 S 45.652448°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458969116210938 y=0.642837524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458969116210938 × 215)
    floor (0.458969116210938 × 32768)
    floor (15039.5)     		tx = 15039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642837524414062 × 215)
    floor (0.642837524414062 × 32768)
    floor (21064.5)     		ty = 21064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15039 / 21064 ti = "15/15039/21064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15039/21064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15039 ÷ 215
    15039 ÷ 32768     		x = 0.458953857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21064 ÷ 215
    21064 ÷ 32768     		y = 0.642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458953857421875 × 2 - 1) × π
    -0.08209228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25790052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.28564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25790052} λ = -0.25790052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897378760887451))-π/2
    2×atan(0.407636774004507)-π/2
    2×0.387072417551696-π/2
    0.774144835103393-1.57079632675     		φ = -0.79665149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25790052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.776611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79665149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.644768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15039 KachelY 21064 -0.25790052 -0.79665149 -14.776611 -45.644768
    Oben rechts KachelX + 1 15040 KachelY 21064 -0.25770877 -0.79665149 -14.765625 -45.644768
    Unten links KachelX 15039 KachelY + 1 21065 -0.25790052 -0.79678553 -14.776611 -45.652448
    Unten rechts KachelX + 1 15040 KachelY + 1 21065 -0.25770877 -0.79678553 -14.765625 -45.652448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79665149--0.79678553) × R
    0.000134039999999946 × 6371000     		dl = 853.968839999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79665149--0.79678553) × R
    0.000134039999999946 × 6371000     		dr = 853.968839999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25790052--0.25770877) × cos(-0.79665149) × R
    0.000191750000000046 × 0.699104872987187 × 6371000     		do = 854.053952707618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25790052--0.25770877) × cos(-0.79678553) × R
    0.000191750000000046 × 0.699009025541075 × 6371000     		du = 853.936861705435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79665149)-sin(-0.79678553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699104872987187-0.699009025541075)×R²
    abs(-0.25770877--0.25790052)×9.58474461122405e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58474461122405e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58474461122405e-05×40589641000000     		ar = 729285.468348514m²