Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15038 / 21062
↖ ↑ ↗
← S 45.629405°
W 14.787598°		 ← 854.29 m → S 45.629405°
W 14.776611°		 →
↑
854.22 m
↓
↑
854.22 m
↓
S 45.637087°
W 14.787598°		 ← 854.17 m →
729 703 m²		 S 45.637087°
W 14.776611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458938598632812 y=0.642776489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458938598632812 × 215)
    floor (0.458938598632812 × 32768)
    floor (15038.5)     		tx = 15038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642776489257812 × 215)
    floor (0.642776489257812 × 32768)
    floor (21062.5)     		ty = 21062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15038 / 21062 ti = "15/15038/21062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15038/21062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15038 ÷ 215
    15038 ÷ 32768     		x = 0.45892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21062 ÷ 215
    21062 ÷ 32768     		y = 0.64276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.0821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25809227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.2855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.896995265690491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25809227} λ = -0.25809227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.896995265690491))-π/2
    2×atan(0.407793130728553)-π/2
    2×0.387206487610934-π/2
    0.774412975221868-1.57079632675     		φ = -0.79638335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25809227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.787598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79638335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.629405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15038 KachelY 21062 -0.25809227 -0.79638335 -14.787598 -45.629405
    Oben rechts KachelX + 1 15039 KachelY 21062 -0.25790052 -0.79638335 -14.776611 -45.629405
    Unten links KachelX 15038 KachelY + 1 21063 -0.25809227 -0.79651743 -14.787598 -45.637087
    Unten rechts KachelX + 1 15039 KachelY + 1 21063 -0.25790052 -0.79651743 -14.776611 -45.637087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79638335--0.79651743) × R
    0.000134079999999925 × 6371000     		dl = 854.223679999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79638335--0.79651743) × R
    0.000134079999999925 × 6371000     		dr = 854.223679999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25809227--0.25790052) × cos(-0.79638335) × R
    0.000191749999999991 × 0.699296573085723 × 6371000     		do = 854.28814107197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25809227--0.25790052) × cos(-0.79651743) × R
    0.000191749999999991 × 0.699200722171185 × 6371000     		du = 854.171045832623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79638335)-sin(-0.79651743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699296573085723-0.699200722171185)×R²
    abs(-0.25790052--0.25809227)×9.58509145375652e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58509145375652e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58509145375652e-05×40589641000000     		ar = 729703.147977054m²