Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15035 / 21423
↖ ↑ ↗
← S 48.334343°
W 14.820557°		 ← 812.12 m → S 48.334343°
W 14.809570°		 →
↑
812.05 m
↓
↑
812.05 m
↓
S 48.341646°
W 14.820557°		 ← 812.01 m →
659 437 m²		 S 48.341646°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458847045898438 y=0.653793334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458847045898438 × 215)
    floor (0.458847045898438 × 32768)
    floor (15035.5)     		tx = 15035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653793334960938 × 215)
    floor (0.653793334960938 × 32768)
    floor (21423.5)     		ty = 21423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15035 / 21423 ti = "15/15035/21423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15035/21423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15035 ÷ 215
    15035 ÷ 32768     		x = 0.458831787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21423 ÷ 215
    21423 ÷ 32768     		y = 0.653778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458831787109375 × 2 - 1) × π
    -0.08233642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25866751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.30755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.966216148741852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25866751} λ = -0.25866751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966216148741852))-π/2
    2×atan(0.380520149126589)-π/2
    2×0.363601448313888-π/2
    0.727202896627776-1.57079632675     		φ = -0.84359343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25866751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.820557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84359343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.334343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15035 KachelY 21423 -0.25866751 -0.84359343 -14.820557 -48.334343
    Oben rechts KachelX + 1 15036 KachelY 21423 -0.25847576 -0.84359343 -14.809570 -48.334343
    Unten links KachelX 15035 KachelY + 1 21424 -0.25866751 -0.84372089 -14.820557 -48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 15036 KachelY + 1 21424 -0.25847576 -0.84372089 -14.809570 -48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84359343--0.84372089) × R
    0.000127459999999968 × 6371000     		dl = 812.047659999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84359343--0.84372089) × R
    0.000127459999999968 × 6371000     		dr = 812.047659999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25866751--0.25847576) × cos(-0.84359343) × R
    0.000191749999999991 × 0.664782699291359 × 6371000     		do = 812.124638175231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25866751--0.25847576) × cos(-0.84372089) × R
    0.000191749999999991 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 812.008310376675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84359343)-sin(-0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664782699291359-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.25847576--0.25866751)×9.52227087960278e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52227087960278e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52227087960278e-05×40589641000000     		ar = 659436.68109253m²