Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15035 / 14892
↖ ↑ ↗
← S 81.241660°
E150.358887°		 ← 372.03 m → S 81.241660°
E150.380859°		 →
↑
371.94 m
↓
↑
371.94 m
↓
S 81.245005°
E150.358887°		 ← 371.89 m →
138 347 m²		 S 81.245005°
E150.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917694091796875 y=0.908966064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917694091796875 × 214)
    floor (0.917694091796875 × 16384)
    floor (15035.5)     		tx = 15035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908966064453125 × 214)
    floor (0.908966064453125 × 16384)
    floor (14892.5)     		ty = 14892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15035 / 14892 ti = "14/15035/14892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15035/14892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15035 ÷ 214
    15035 ÷ 16384     		x = 0.91766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14892 ÷ 214
    14892 ÷ 16384     		y = 0.908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91766357421875 × 2 - 1) × π
    0.8353271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62425763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.81787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56941781963501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62425763} λ = 2.62425763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56941781963501))-π/2
    2×atan(0.0765801158884469)-π/2
    2×0.0764309387242414-π/2
    0.152861877448483-1.57079632675     		φ = -1.41793445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62425763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41793445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.241660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15035 KachelY 14892 2.62425763 -1.41793445 150.358887 -81.241660
    Oben rechts KachelX + 1 15036 KachelY 14892 2.62464113 -1.41793445 150.380859 -81.241660
    Unten links KachelX 15035 KachelY + 1 14893 2.62425763 -1.41799283 150.358887 -81.245005
    Unten rechts KachelX + 1 15036 KachelY + 1 14893 2.62464113 -1.41799283 150.380859 -81.245005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41793445--1.41799283) × R
    5.83800000000245e-05 × 6371000     		dl = 371.938980000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41793445--1.41799283) × R
    5.83800000000245e-05 × 6371000     		dr = 371.938980000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62425763-2.62464113) × cos(-1.41793445) × R
    0.000383500000000314 × 0.152267257640206 × 6371000     		do = 372.031316846581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62425763-2.62464113) × cos(-1.41799283) × R
    0.000383500000000314 × 0.152209558129166 × 6371000     		du = 371.890340871795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41793445)-sin(-1.41799283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152267257640206-0.152209558129166)×R²
    abs(2.62464113-2.62425763)×5.76995110401768e-05×R²
    0.000383500000000314×5.76995110401768e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.76995110401768e-05×40589641000000     		ar = 138346.731326339m²