Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15034 / 7668
↖ ↑ ↗
← N 68.704486°
W 14.831543°		 ← 443.67 m → N 68.704486°
W 14.820557°		 →
↑
443.74 m
↓
↑
443.74 m
↓
N 68.700496°
W 14.831543°		 ← 443.75 m →
196 893 m²		 N 68.700496°
W 14.820557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458816528320312 y=0.234024047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458816528320312 × 215)
    floor (0.458816528320312 × 32768)
    floor (15034.5)     		tx = 15034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234024047851562 × 215)
    floor (0.234024047851562 × 32768)
    floor (7668.5)     		ty = 7668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15034 / 7668 ti = "15/15034/7668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15034/7668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15034 ÷ 215
    15034 ÷ 32768     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7668 ÷ 215
    7668 ÷ 32768     		y = 0.2340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2340087890625 × 2 - 1) × π
    0.531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67127206835364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67127206835364))-π/2
    2×atan(5.31892953751132)-π/2
    2×1.38495791170169-π/2
    2.76991582340338-1.57079632675     		φ = 1.19911950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19911950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.704486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15034 KachelY 7668 -0.25885926 1.19911950 -14.831543 68.704486
    Oben rechts KachelX + 1 15035 KachelY 7668 -0.25866751 1.19911950 -14.820557 68.704486
    Unten links KachelX 15034 KachelY + 1 7669 -0.25885926 1.19904985 -14.831543 68.700496
    Unten rechts KachelX + 1 15035 KachelY + 1 7669 -0.25866751 1.19904985 -14.820557 68.700496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19911950-1.19904985) × R
    6.96499999999212e-05 × 6371000     		dl = 443.740149999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19911950-1.19904985) × R
    6.96499999999212e-05 × 6371000     		dr = 443.740149999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25866751) × cos(1.19911950) × R
    0.000191749999999991 × 0.363178274321431 × 6371000     		do = 443.672834658306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25866751) × cos(1.19904985) × R
    0.000191749999999991 × 0.363243167715393 × 6371000     		du = 443.752110975435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19911950)-sin(1.19904985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363178274321431-0.363243167715393)×R²
    abs(-0.25866751--0.25885926)×6.48933939619845e-05×R²
    0.000191749999999991×6.48933939619845e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.48933939619845e-05×40589641000000     		ar = 196893.039323708m²