Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15033 / 7669
↖ ↑ ↗
← N 68.700496°
W 14.842530°		 ← 443.75 m → N 68.700496°
W 14.831543°		 →
↑
443.80 m
↓
↑
443.80 m
↓
N 68.696505°
W 14.842530°		 ← 443.83 m →
196 956 m²		 N 68.696505°
W 14.831543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458786010742188 y=0.234054565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458786010742188 × 215)
    floor (0.458786010742188 × 32768)
    floor (15033.5)     		tx = 15033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234054565429688 × 215)
    floor (0.234054565429688 × 32768)
    floor (7669.5)     		ty = 7669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15033 / 7669 ti = "15/15033/7669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15033/7669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15033 ÷ 215
    15033 ÷ 32768     		x = 0.458770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7669 ÷ 215
    7669 ÷ 32768     		y = 0.234039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.08245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25905101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234039306640625 × 2 - 1) × π
    0.53192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67108032075516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25905101} λ = -0.25905101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67108032075516))-π/2
    2×atan(5.31790974332069)-π/2
    2×1.38492308930995-π/2
    2.7698461786199-1.57079632675     		φ = 1.19904985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25905101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.842530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19904985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.700496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15033 KachelY 7669 -0.25905101 1.19904985 -14.842530 68.700496
    Oben rechts KachelX + 1 15034 KachelY 7669 -0.25885926 1.19904985 -14.831543 68.700496
    Unten links KachelX 15033 KachelY + 1 7670 -0.25905101 1.19898019 -14.842530 68.696505
    Unten rechts KachelX + 1 15034 KachelY + 1 7670 -0.25885926 1.19898019 -14.831543 68.696505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19904985-1.19898019) × R
    6.96600000000824e-05 × 6371000     		dl = 443.803860000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19904985-1.19898019) × R
    6.96600000000824e-05 × 6371000     		dr = 443.803860000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25905101--0.25885926) × cos(1.19904985) × R
    0.000191750000000046 × 0.363243167715393 × 6371000     		do = 443.752110975564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25905101--0.25885926) × cos(1.19898019) × R
    0.000191750000000046 × 0.363308068663909 × 6371000     		du = 443.831396521633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19904985)-sin(1.19898019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363243167715393-0.363308068663909)×R²
    abs(-0.25885926--0.25905101)×6.49009485156338e-05×R²
    0.000191750000000046×6.49009485156338e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.49009485156338e-05×40589641000000     		ar = 196956.493429887m²