Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15032 / 10408
↖ ↑ ↗
← N 54.724620°
W 14.853515°		 ← 705.47 m → N 54.724620°
W 14.842530°		 →
↑
705.52 m
↓
↑
705.52 m
↓
N 54.718275°
W 14.853515°		 ← 705.58 m →
497 764 m²		 N 54.718275°
W 14.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458755493164062 y=0.317642211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458755493164062 × 215)
    floor (0.458755493164062 × 32768)
    floor (15032.5)     		tx = 15032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317642211914062 × 215)
    floor (0.317642211914062 × 32768)
    floor (10408.5)     		ty = 10408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15032 / 10408 ti = "15/15032/10408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15032/10408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15032 ÷ 215
    15032 ÷ 32768     		x = 0.458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10408 ÷ 215
    10408 ÷ 32768     		y = 0.317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317626953125 × 2 - 1) × π
    0.36474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14588364851782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25924275} λ = -0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14588364851782))-π/2
    2×atan(3.14521939771157)-π/2
    2×1.2629605655404-π/2
    2.5259211310808-1.57079632675     		φ = 0.95512480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95512480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.724620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15032 KachelY 10408 -0.25924275 0.95512480 -14.853515 54.724620
    Oben rechts KachelX + 1 15033 KachelY 10408 -0.25905101 0.95512480 -14.842530 54.724620
    Unten links KachelX 15032 KachelY + 1 10409 -0.25924275 0.95501406 -14.853515 54.718275
    Unten rechts KachelX + 1 15033 KachelY + 1 10409 -0.25905101 0.95501406 -14.842530 54.718275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95512480-0.95501406) × R
    0.000110739999999998 × 6371000     		dl = 705.524539999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95512480-0.95501406) × R
    0.000110739999999998 × 6371000     		dr = 705.524539999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25924275--0.25905101) × cos(0.95512480) × R
    0.000191739999999996 × 0.577506877409919 × 6371000     		do = 705.46827562572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25924275--0.25905101) × cos(0.95501406) × R
    0.000191739999999996 × 0.577597280434319 × 6371000     		du = 705.57870974907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95512480)-sin(0.95501406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577506877409919-0.577597280434319)×R²
    abs(-0.25905101--0.25924275)×9.04030244007759e-05×R²
    0.000191739999999996×9.04030244007759e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.04030244007759e-05×40589641000000     		ar = 497764.138146272m²