Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15029 / 7685
↖ ↑ ↗
← N 68.636553°
W 14.886475°		 ← 445.02 m → N 68.636553°
W 14.875488°		 →
↑
445.01 m
↓
↑
445.01 m
↓
N 68.632551°
W 14.886475°		 ← 445.10 m →
198 059 m²		 N 68.632551°
W 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458663940429688 y=0.234542846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458663940429688 × 215)
    floor (0.458663940429688 × 32768)
    floor (15029.5)     		tx = 15029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234542846679688 × 215)
    floor (0.234542846679688 × 32768)
    floor (7685.5)     		ty = 7685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15029 / 7685 ti = "15/15029/7685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15029/7685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15029 ÷ 215
    15029 ÷ 32768     		x = 0.458648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7685 ÷ 215
    7685 ÷ 32768     		y = 0.234527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.08270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25981800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234527587890625 × 2 - 1) × π
    0.53094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66801235917947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25981800} λ = -0.25981800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66801235917947))-π/2
    2×atan(5.30161960210631)-π/2
    2×1.38436508426596-π/2
    2.76873016853193-1.57079632675     		φ = 1.19793384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25981800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.886475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19793384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.636553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15029 KachelY 7685 -0.25981800 1.19793384 -14.886475 68.636553
    Oben rechts KachelX + 1 15030 KachelY 7685 -0.25962625 1.19793384 -14.875488 68.636553
    Unten links KachelX 15029 KachelY + 1 7686 -0.25981800 1.19786399 -14.886475 68.632551
    Unten rechts KachelX + 1 15030 KachelY + 1 7686 -0.25962625 1.19786399 -14.875488 68.632551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19793384-1.19786399) × R
    6.98499999998159e-05 × 6371000     		dl = 445.014349998827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19793384-1.19786399) × R
    6.98499999998159e-05 × 6371000     		dr = 445.014349998827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25981800--0.25962625) × cos(1.19793384) × R
    0.000191749999999991 × 0.364282721528907 × 6371000     		do = 445.022070716511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25981800--0.25962625) × cos(1.19786399) × R
    0.000191749999999991 × 0.364347771135478 × 6371000     		du = 445.101537869095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19793384)-sin(1.19786399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364282721528907-0.364347771135478)×R²
    abs(-0.25962625--0.25981800)×6.50496065709438e-05×R²
    0.000191749999999991×6.50496065709438e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.50496065709438e-05×40589641000000     		ar = 198058.889627118m²