Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15029 / 7683
↖ ↑ ↗
← N 68.644556°
W 14.886475°		 ← 444.86 m → N 68.644556°
W 14.875488°		 →
↑
444.89 m
↓
↑
444.89 m
↓
N 68.640555°
W 14.886475°		 ← 444.94 m →
197 931 m²		 N 68.640555°
W 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458663940429688 y=0.234481811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458663940429688 × 215)
    floor (0.458663940429688 × 32768)
    floor (15029.5)     		tx = 15029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234481811523438 × 215)
    floor (0.234481811523438 × 32768)
    floor (7683.5)     		ty = 7683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15029 / 7683 ti = "15/15029/7683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15029/7683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15029 ÷ 215
    15029 ÷ 32768     		x = 0.458648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7683 ÷ 215
    7683 ÷ 32768     		y = 0.234466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.08270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25981800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234466552734375 × 2 - 1) × π
    0.53106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66839585437643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25981800} λ = -0.25981800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66839585437643))-π/2
    2×atan(5.30365313766046)-π/2
    2×1.38443492213059-π/2
    2.76886984426119-1.57079632675     		φ = 1.19807352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25981800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.886475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19807352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.644556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15029 KachelY 7683 -0.25981800 1.19807352 -14.886475 68.644556
    Oben rechts KachelX + 1 15030 KachelY 7683 -0.25962625 1.19807352 -14.875488 68.644556
    Unten links KachelX 15029 KachelY + 1 7684 -0.25981800 1.19800369 -14.886475 68.640555
    Unten rechts KachelX + 1 15030 KachelY + 1 7684 -0.25962625 1.19800369 -14.875488 68.640555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19807352-1.19800369) × R
    6.98299999999374e-05 × 6371000     		dl = 444.886929999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19807352-1.19800369) × R
    6.98299999999374e-05 × 6371000     		dr = 444.886929999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25981800--0.25962625) × cos(1.19807352) × R
    0.000191749999999991 × 0.364152635610837 × 6371000     		do = 444.863152653124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25981800--0.25962625) × cos(1.19800369) × R
    0.000191749999999991 × 0.364217670144992 × 6371000     		du = 444.942601392654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19807352)-sin(1.19800369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364152635610837-0.364217670144992)×R²
    abs(-0.25962625--0.25981800)×6.50345341551284e-05×R²
    0.000191749999999991×6.50345341551284e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.50345341551284e-05×40589641000000     		ar = 197931.475187338m²