Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15029 / 10511
↖ ↑ ↗
← N 54.065836°
W 14.886475°		 ← 716.93 m → N 54.065836°
W 14.875488°		 →
↑
716.99 m
↓
↑
716.99 m
↓
N 54.059388°
W 14.886475°		 ← 717.04 m →
514 070 m²		 N 54.059388°
W 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458663940429688 y=0.320785522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458663940429688 × 215)
    floor (0.458663940429688 × 32768)
    floor (15029.5)     		tx = 15029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320785522460938 × 215)
    floor (0.320785522460938 × 32768)
    floor (10511.5)     		ty = 10511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15029 / 10511 ti = "15/15029/10511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15029/10511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15029 ÷ 215
    15029 ÷ 32768     		x = 0.458648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10511 ÷ 215
    10511 ÷ 32768     		y = 0.320770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.08270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25981800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320770263671875 × 2 - 1) × π
    0.35845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12613364587436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25981800} λ = -0.25981800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12613364587436))-π/2
    2×atan(3.083710704064)-π/2
    2×1.25721158691659-π/2
    2.51442317383318-1.57079632675     		φ = 0.94362685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25981800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.886475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94362685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.065836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15029 KachelY 10511 -0.25981800 0.94362685 -14.886475 54.065836
    Oben rechts KachelX + 1 15030 KachelY 10511 -0.25962625 0.94362685 -14.875488 54.065836
    Unten links KachelX 15029 KachelY + 1 10512 -0.25981800 0.94351431 -14.886475 54.059388
    Unten rechts KachelX + 1 15030 KachelY + 1 10512 -0.25962625 0.94351431 -14.875488 54.059388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94362685-0.94351431) × R
    0.00011254000000005 × 6371000     		dl = 716.992340000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94362685-0.94351431) × R
    0.00011254000000005 × 6371000     		dr = 716.992340000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25981800--0.25962625) × cos(0.94362685) × R
    0.000191749999999991 × 0.586855260312111 × 6371000     		do = 716.925420066207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25981800--0.25962625) × cos(0.94351431) × R
    0.000191749999999991 × 0.586946379317181 × 6371000     		du = 717.036734619222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94362685)-sin(0.94351431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586855260312111-0.586946379317181)×R²
    abs(-0.25962625--0.25981800)×9.11190050703059e-05×R²
    0.000191749999999991×9.11190050703059e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.11190050703059e-05×40589641000000     		ar = 514069.940922561m²