Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15028 / 7671
↖ ↑ ↗
← N 68.692513°
W 14.897461°		 ← 443.89 m → N 68.692513°
W 14.886475°		 →
↑
443.93 m
↓
↑
443.93 m
↓
N 68.688520°
W 14.897461°		 ← 443.97 m →
197 073 m²		 N 68.688520°
W 14.886475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458633422851562 y=0.234115600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458633422851562 × 215)
    floor (0.458633422851562 × 32768)
    floor (15028.5)     		tx = 15028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234115600585938 × 215)
    floor (0.234115600585938 × 32768)
    floor (7671.5)     		ty = 7671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15028 / 7671 ti = "15/15028/7671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15028/7671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15028 ÷ 215
    15028 ÷ 32768     		x = 0.4586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7671 ÷ 215
    7671 ÷ 32768     		y = 0.234100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234100341796875 × 2 - 1) × π
    0.53179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6706968255582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26000974} λ = -0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6706968255582))-π/2
    2×atan(5.31587074147495)-π/2
    2×1.38485342586078-π/2
    2.76970685172156-1.57079632675     		φ = 1.19891052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19891052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.692513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15028 KachelY 7671 -0.26000974 1.19891052 -14.897461 68.692513
    Oben rechts KachelX + 1 15029 KachelY 7671 -0.25981800 1.19891052 -14.886475 68.692513
    Unten links KachelX 15028 KachelY + 1 7672 -0.26000974 1.19884084 -14.897461 68.688520
    Unten rechts KachelX + 1 15029 KachelY + 1 7672 -0.25981800 1.19884084 -14.886475 68.688520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19891052-1.19884084) × R
    6.96800000001829e-05 × 6371000     		dl = 443.931280001165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19891052-1.19884084) × R
    6.96800000001829e-05 × 6371000     		dr = 443.931280001165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26000974--0.25981800) × cos(1.19891052) × R
    0.000191739999999996 × 0.363372977165904 × 6371000     		do = 443.887540802837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26000974--0.25981800) × cos(1.19884084) × R
    0.000191739999999996 × 0.363437893220304 × 6371000     		du = 443.966840667046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19891052)-sin(1.19884084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363372977165904-0.363437893220304)×R²
    abs(-0.25981800--0.26000974)×6.49160544002325e-05×R²
    0.000191739999999996×6.49160544002325e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.49160544002325e-05×40589641000000     		ar = 197073.166089261m²