Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15028 / 14991
↖ ↑ ↗
← S 81.566746°
E150.205078°		 ← 358.31 m → S 81.566746°
E150.227051°		 →
↑
358.31 m
↓
↑
358.31 m
↓
S 81.569968°
E150.205078°		 ← 358.18 m →
128 362 m²		 S 81.569968°
E150.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917266845703125 y=0.915008544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917266845703125 × 214)
    floor (0.917266845703125 × 16384)
    floor (15028.5)     		tx = 15028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915008544921875 × 214)
    floor (0.915008544921875 × 16384)
    floor (14991.5)     		ty = 14991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15028 / 14991 ti = "14/15028/14991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15028/14991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15028 ÷ 214
    15028 ÷ 16384     		x = 0.917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14991 ÷ 214
    14991 ÷ 16384     		y = 0.91497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917236328125 × 2 - 1) × π
    0.83447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62157317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.8299560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60738384413409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62157317} λ = 2.62157317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60738384413409))-π/2
    2×atan(0.0737271734558524)-π/2
    2×0.0735940212817951-π/2
    0.14718804256359-1.57079632675     		φ = -1.42360828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62157317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42360828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.566746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15028 KachelY 14991 2.62157317 -1.42360828 150.205078 -81.566746
    Oben rechts KachelX + 1 15029 KachelY 14991 2.62195666 -1.42360828 150.227051 -81.566746
    Unten links KachelX 15028 KachelY + 1 14992 2.62157317 -1.42366452 150.205078 -81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 15029 KachelY + 1 14992 2.62195666 -1.42366452 150.227051 -81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42360828--1.42366452) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dl = 358.305039999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42360828--1.42366452) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dr = 358.305039999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62157317-2.62195666) × cos(-1.42360828) × R
    0.000383489999999931 × 0.146657167326687 × 6371000     		do = 358.314960272003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62157317-2.62195666) × cos(-1.42366452) × R
    0.000383489999999931 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 358.179039028633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42360828)-sin(-1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146657167326687-0.14660153519646)×R²
    abs(2.62195666-2.62157317)×5.563213022719e-05×R²
    0.000383489999999931×5.563213022719e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.563213022719e-05×40589641000000     		ar = 128361.705572809m²