Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15025 / 7662
↖ ↑ ↗
← N 68.728413°
W 14.930420°		 ← 443.20 m → N 68.728413°
W 14.919434°		 →
↑
443.23 m
↓
↑
443.23 m
↓
N 68.724427°
W 14.930420°		 ← 443.28 m →
196 456 m²		 N 68.724427°
W 14.919434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458541870117188 y=0.233840942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458541870117188 × 215)
    floor (0.458541870117188 × 32768)
    floor (15025.5)     		tx = 15025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233840942382812 × 215)
    floor (0.233840942382812 × 32768)
    floor (7662.5)     		ty = 7662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15025 / 7662 ti = "15/15025/7662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15025/7662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15025 ÷ 215
    15025 ÷ 32768     		x = 0.458526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7662 ÷ 215
    7662 ÷ 32768     		y = 0.23382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.08294677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26058499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23382568359375 × 2 - 1) × π
    0.5323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67242255394452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26058499} λ = -0.26058499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67242255394452))-π/2
    2×atan(5.32505241076651)-π/2
    2×1.38516671545169-π/2
    2.77033343090339-1.57079632675     		φ = 1.19953710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26058499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.930420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19953710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.728413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15025 KachelY 7662 -0.26058499 1.19953710 -14.930420 68.728413
    Oben rechts KachelX + 1 15026 KachelY 7662 -0.26039324 1.19953710 -14.919434 68.728413
    Unten links KachelX 15025 KachelY + 1 7663 -0.26058499 1.19946753 -14.930420 68.724427
    Unten rechts KachelX + 1 15026 KachelY + 1 7663 -0.26039324 1.19946753 -14.919434 68.724427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19953710-1.19946753) × R
    6.95699999999633e-05 × 6371000     		dl = 443.230469999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19953710-1.19946753) × R
    6.95699999999633e-05 × 6371000     		dr = 443.230469999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26058499--0.26039324) × cos(1.19953710) × R
    0.000191749999999991 × 0.362789156531801 × 6371000     		do = 443.19747309362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26058499--0.26039324) × cos(1.19946753) × R
    0.000191749999999991 × 0.362853985936714 × 6371000     		du = 443.276671239216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19953710)-sin(1.19946753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362789156531801-0.362853985936714)×R²
    abs(-0.26039324--0.26058499)×6.48294049126474e-05×R²
    0.000191749999999991×6.48294049126474e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.48294049126474e-05×40589641000000     		ar = 196456.175896576m²