Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15024 / 7664
↖ ↑ ↗
← N 68.720440°
W 14.941406°		 ← 443.33 m → N 68.720440°
W 14.930420°		 →
↑
443.36 m
↓
↑
443.36 m
↓
N 68.716453°
W 14.941406°		 ← 443.41 m →
196 573 m²		 N 68.716453°
W 14.930420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458511352539062 y=0.233901977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458511352539062 × 215)
    floor (0.458511352539062 × 32768)
    floor (15024.5)     		tx = 15024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233901977539062 × 215)
    floor (0.233901977539062 × 32768)
    floor (7664.5)     		ty = 7664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15024 / 7664 ti = "15/15024/7664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15024/7664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15024 ÷ 215
    15024 ÷ 32768     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7664 ÷ 215
    7664 ÷ 32768     		y = 0.23388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23388671875 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67203905874756))-π/2
    2×atan(5.32301067026728)-π/2
    2×1.38509713907168-π/2
    2.77019427814337-1.57079632675     		φ = 1.19939795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19939795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.720440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15024 KachelY 7664 -0.26077673 1.19939795 -14.941406 68.720440
    Oben rechts KachelX + 1 15025 KachelY 7664 -0.26058499 1.19939795 -14.930420 68.720440
    Unten links KachelX 15024 KachelY + 1 7665 -0.26077673 1.19932836 -14.941406 68.716453
    Unten rechts KachelX + 1 15025 KachelY + 1 7665 -0.26058499 1.19932836 -14.930420 68.716453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19939795-1.19932836) × R
    6.95900000000638e-05 × 6371000     		dl = 443.357890000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19939795-1.19932836) × R
    6.95900000000638e-05 × 6371000     		dr = 443.357890000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.26058499) × cos(1.19939795) × R
    0.000191739999999996 × 0.362918822903626 × 6371000     		do = 443.332757064652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.26058499) × cos(1.19932836) × R
    0.000191739999999996 × 0.362983667431467 × 6371000     		du = 443.411969553765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19939795)-sin(1.19932836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362918822903626-0.362983667431467)×R²
    abs(-0.26058499--0.26077673)×6.48445278410015e-05×R²
    0.000191739999999996×6.48445278410015e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.48445278410015e-05×40589641000000     		ar = 196572.635560759m²