Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15023 / 10416
↖ ↑ ↗
← N 54.673831°
W 14.952392°		 ← 706.39 m → N 54.673831°
W 14.941406°		 →
↑
706.48 m
↓
↑
706.48 m
↓
N 54.667478°
W 14.952392°		 ← 706.50 m →
499 089 m²		 N 54.667478°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458480834960938 y=0.317886352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458480834960938 × 215)
    floor (0.458480834960938 × 32768)
    floor (15023.5)     		tx = 15023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317886352539062 × 215)
    floor (0.317886352539062 × 32768)
    floor (10416.5)     		ty = 10416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15023 / 10416 ti = "15/15023/10416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15023/10416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15023 ÷ 215
    15023 ÷ 32768     		x = 0.458465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10416 ÷ 215
    10416 ÷ 32768     		y = 0.31787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.08306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26096848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31787109375 × 2 - 1) × π
    0.3642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14434966772998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26096848} λ = -0.26096848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14434966772998))-π/2
    2×atan(3.14039839019374)-π/2
    2×1.26251734590516-π/2
    2.52503469181031-1.57079632675     		φ = 0.95423837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26096848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.952392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95423837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.673831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15023 KachelY 10416 -0.26096848 0.95423837 -14.952392 54.673831
    Oben rechts KachelX + 1 15024 KachelY 10416 -0.26077673 0.95423837 -14.941406 54.673831
    Unten links KachelX 15023 KachelY + 1 10417 -0.26096848 0.95412748 -14.952392 54.667478
    Unten rechts KachelX + 1 15024 KachelY + 1 10417 -0.26077673 0.95412748 -14.941406 54.667478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95423837-0.95412748) × R
    0.000110889999999975 × 6371000     		dl = 706.480189999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95423837-0.95412748) × R
    0.000110889999999975 × 6371000     		dr = 706.480189999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26096848--0.26077673) × cos(0.95423837) × R
    0.000191749999999991 × 0.578230319306918 × 6371000     		do = 706.388853605329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26096848--0.26077673) × cos(0.95412748) × R
    0.000191749999999991 × 0.57832078797284 × 6371000     		du = 706.499373678514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95423837)-sin(0.95412748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578230319306918-0.57832078797284)×R²
    abs(-0.26077673--0.26096848)×9.04686659214393e-05×R²
    0.000191749999999991×9.04686659214393e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.04686659214393e-05×40589641000000     		ar = 499088.772141108m²