Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15020 / 15796
↖ ↑ ↗
← N 79.470585°
W138.746338°		 ← 55.81 m → N 79.470585°
W138.743591°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.470083°
W138.746338°		 ← 55.82 m →
3 115 m²		 N 79.470083°
W138.743591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114597320556641 y=0.120517730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114597320556641 × 217)
    floor (0.114597320556641 × 131072)
    floor (15020.5)     		tx = 15020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120517730712891 × 217)
    floor (0.120517730712891 × 131072)
    floor (15796.5)     		ty = 15796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15020 / 15796 ti = "17/15020/15796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15020/15796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15020 ÷ 217
    15020 ÷ 131072     		x = 0.114593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15796 ÷ 217
    15796 ÷ 131072     		y = 0.120513916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.77081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42158042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120513916015625 × 2 - 1) × π
    0.75897216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38438138710159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42158042} λ = -2.42158042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38438138710159))-π/2
    2×atan(10.8523471860465)-π/2
    2×1.47890984158574-π/2
    2.95781968317148-1.57079632675     		φ = 1.38702336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42158042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.746338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38702336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.470585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15020 KachelY 15796 -2.42158042 1.38702336 -138.746338 79.470585
    Oben rechts KachelX + 1 15021 KachelY 15796 -2.42153248 1.38702336 -138.743591 79.470585
    Unten links KachelX 15020 KachelY + 1 15797 -2.42158042 1.38701460 -138.746338 79.470083
    Unten rechts KachelX + 1 15021 KachelY + 1 15797 -2.42153248 1.38701460 -138.743591 79.470083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38702336-1.38701460) × R
    8.75999999983001e-06 × 6371000     		dl = 55.809959998917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38702336-1.38701460) × R
    8.75999999983001e-06 × 6371000     		dr = 55.809959998917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42158042--2.42153248) × cos(1.38702336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182740299936772 × 6371000     		do = 55.813591335974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42158042--2.42153248) × cos(1.38701460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18274891242204 × 6371000     		du = 55.8162218106601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38702336)-sin(1.38701460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182740299936772-0.18274891242204)×R²
    abs(-2.42153248--2.42158042)×8.61248526767833e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.61248526767833e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.61248526767833e-06×40589641000000     		ar = 3115.02770327291m²