Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15019 / 10352
↖ ↑ ↗
← N 55.078367°
W 14.996338°		 ← 699.33 m → N 55.078367°
W 14.985351°		 →
↑
699.34 m
↓
↑
699.34 m
↓
N 55.072078°
W 14.996338°		 ← 699.44 m →
489 114 m²		 N 55.072078°
W 14.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458358764648438 y=0.315933227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458358764648438 × 215)
    floor (0.458358764648438 × 32768)
    floor (15019.5)     		tx = 15019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315933227539062 × 215)
    floor (0.315933227539062 × 32768)
    floor (10352.5)     		ty = 10352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15019 / 10352 ti = "15/15019/10352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15019/10352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15019 ÷ 215
    15019 ÷ 32768     		x = 0.458343505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10352 ÷ 215
    10352 ÷ 32768     		y = 0.31591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458343505859375 × 2 - 1) × π
    -0.08331298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26173547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31591796875 × 2 - 1) × π
    0.3681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15662151403271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26173547} λ = -0.26173547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15662151403271))-π/2
    2×atan(3.17917431603779)-π/2
    2×1.2660475907986-π/2
    2.53209518159719-1.57079632675     		φ = 0.96129885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26173547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.996338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96129885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.078367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15019 KachelY 10352 -0.26173547 0.96129885 -14.996338 55.078367
    Oben rechts KachelX + 1 15020 KachelY 10352 -0.26154372 0.96129885 -14.985351 55.078367
    Unten links KachelX 15019 KachelY + 1 10353 -0.26173547 0.96118908 -14.996338 55.072078
    Unten rechts KachelX + 1 15020 KachelY + 1 10353 -0.26154372 0.96118908 -14.985351 55.072078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96129885-0.96118908) × R
    0.000109770000000009 × 6371000     		dl = 699.344670000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96129885-0.96118908) × R
    0.000109770000000009 × 6371000     		dr = 699.344670000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26173547--0.26154372) × cos(0.96129885) × R
    0.000191750000000046 × 0.572455495635847 × 6371000     		do = 699.334102347122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26173547--0.26154372) × cos(0.96118908) × R
    0.000191750000000046 × 0.572545496538835 × 6371000     		du = 699.444050982748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96129885)-sin(0.96118908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572455495635847-0.572545496538835)×R²
    abs(-0.26154372--0.26173547)×9.00009029876081e-05×R²
    0.000191750000000046×9.00009029876081e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.00009029876081e-05×40589641000000     		ar = 489114.023512604m²