Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15018 / 7698
↖ ↑ ↗
← N 68.584465°
W 15.007324°		 ← 446.06 m → N 68.584465°
W 14.996338°		 →
↑
446.10 m
↓
↑
446.10 m
↓
N 68.580453°
W 15.007324°		 ← 446.14 m →
199 002 m²		 N 68.580453°
W 14.996338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458328247070312 y=0.234939575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458328247070312 × 215)
    floor (0.458328247070312 × 32768)
    floor (15018.5)     		tx = 15018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234939575195312 × 215)
    floor (0.234939575195312 × 32768)
    floor (7698.5)     		ty = 7698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15018 / 7698 ti = "15/15018/7698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15018/7698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15018 ÷ 215
    15018 ÷ 32768     		x = 0.45831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7698 ÷ 215
    7698 ÷ 32768     		y = 0.23492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.0833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26192722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23492431640625 × 2 - 1) × π
    0.5301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.66551964039923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26192722} λ = -0.26192722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66551964039923))-π/2
    2×atan(5.28842061287708)-π/2
    2×1.38391052973342-π/2
    2.76782105946684-1.57079632675     		φ = 1.19702473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26192722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.007324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19702473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.584465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15018 KachelY 7698 -0.26192722 1.19702473 -15.007324 68.584465
    Oben rechts KachelX + 1 15019 KachelY 7698 -0.26173547 1.19702473 -14.996338 68.584465
    Unten links KachelX 15018 KachelY + 1 7699 -0.26192722 1.19695471 -15.007324 68.580453
    Unten rechts KachelX + 1 15019 KachelY + 1 7699 -0.26173547 1.19695471 -14.996338 68.580453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19702473-1.19695471) × R
    7.0020000000115e-05 × 6371000     		dl = 446.097420000733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19702473-1.19695471) × R
    7.0020000000115e-05 × 6371000     		dr = 446.097420000733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26192722--0.26173547) × cos(1.19702473) × R
    0.000191749999999991 × 0.36512921448048 × 6371000     		do = 446.056179731001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26192722--0.26173547) × cos(1.19695471) × R
    0.000191749999999991 × 0.365194399183993 × 6371000     		du = 446.135811923311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19702473)-sin(1.19695471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36512921448048-0.365194399183993)×R²
    abs(-0.26173547--0.26192722)×6.51847035124109e-05×R²
    0.000191749999999991×6.51847035124109e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.51847035124109e-05×40589641000000     		ar = 199002.272892715m²