Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15016 / 14905
↖ ↑ ↗
← S 81.285047°
E149.941406°		 ← 370.20 m → S 81.285047°
E149.963379°		 →
↑
370.16 m
↓
↑
370.16 m
↓
S 81.288376°
E149.941406°		 ← 370.06 m →
137 006 m²		 S 81.288376°
E149.963379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916534423828125 y=0.909759521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916534423828125 × 214)
    floor (0.916534423828125 × 16384)
    floor (15016.5)     		tx = 15016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909759521484375 × 214)
    floor (0.909759521484375 × 16384)
    floor (14905.5)     		ty = 14905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15016 / 14905 ti = "14/15016/14905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15016/14905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15016 ÷ 214
    15016 ÷ 16384     		x = 0.91650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14905 ÷ 214
    14905 ÷ 16384     		y = 0.90972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91650390625 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61697122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.8194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5744032571955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61697122} λ = 2.61697122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5744032571955))-π/2
    2×atan(0.0761992806063618)-π/2
    2×0.0760523128746078-π/2
    0.152104625749216-1.57079632675     		φ = -1.41869170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61697122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41869170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.285047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15016 KachelY 14905 2.61697122 -1.41869170 149.941406 -81.285047
    Oben rechts KachelX + 1 15017 KachelY 14905 2.61735472 -1.41869170 149.963379 -81.285047
    Unten links KachelX 15016 KachelY + 1 14906 2.61697122 -1.41874980 149.941406 -81.288376
    Unten rechts KachelX + 1 15017 KachelY + 1 14906 2.61735472 -1.41874980 149.963379 -81.288376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41869170--1.41874980) × R
    5.80999999999499e-05 × 6371000     		dl = 370.155099999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41869170--1.41874980) × R
    5.80999999999499e-05 × 6371000     		dr = 370.155099999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61697122-2.61735472) × cos(-1.41869170) × R
    0.00038349999999987 × 0.151518794077424 × 6371000     		do = 370.202611915172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61697122-2.61735472) × cos(-1.41874980) × R
    0.00038349999999987 × 0.151461364622429 × 6371000     		du = 370.062295762517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41869170)-sin(-1.41874980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151518794077424-0.151461364622429)×R²
    abs(2.61735472-2.61697122)×5.74294549946786e-05×R²
    0.00038349999999987×5.74294549946786e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.74294549946786e-05×40589641000000     		ar = 137006.415500914m²